Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu.

Dany jest ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny $\left(c_n\right)$ taki, że $c_1=4$. Iloraz ciągu jest równy $3$. Dodano kilka początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu i otrzymano $484$. Ile wyrazów dodano?

Oznaczmy:
$n$ – liczba wyrazów, które dodano ($n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $n\ge 1$),
$q$ – iloraz ciągu.

Podstawiamy dane wynikające z treści zadania do wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_n=c_1·\frac{1-q^n}{1-q}$

$484=4·\frac{1-3^n}{1-3}$

$484=4·\frac{1-3^n}{-2}$

$484=2·\left(-1+3^n\right)$

Dzielimy obie strony równania przez $2$ i wyznaczamy $n$.

$242+1=3^n$

$3^n=243$

$n=5$

Odpowiedź:

Dodano pięć wyrazów ciągu.

Obliczymy pierwszy wyraz i liczbę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego $\left(b_n\right)$, w którym $b_n=8748$, $S_n=6564$ i iloraz ciągu $q=\left(-3\right)$.

Korzystamy ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu geometrycznego i ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego – otrzymujemy układ równań.

$\left\{\begin{array}{l}{b}_1·{\left(-3\right)}^{n-1}=8748\\ b_1·\frac{{\left(-3\right)}^n-1}{-3-1}=6564\end{array}\right.$

Obie strony pierwszego równania mnożymy przez $\left(-3\right)$, a obie strony drugiego równania przez $\left(-4\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}{b}_1·{\left(-3\right)}^n=-26244\\ b_1·\left[{\left(-3\right)}^n-1\right]=-26256\end{array}\right.$

Z pierwszego równania wyznaczamy $b_1$ i wstawiamy do drugiego równania.

$\left\{\begin{array}{l}{b}_1=\frac{-26244}{{\left(-3\right)}^n}\\ \frac{-26244}{{\left(-3\right)}^n}·\left[{\left(-3\right)}^n-1\right]=-26256\end{array}\right.$

Przekształcamy drugie równanie i wyznaczamy $n$.

$-26244·{\left(-3\right)}^n=-26256·{\left(-3\right)}^n-26244$

$12·{\left(-3\right)}^n=-26244$

${\left(-3\right)}^n={\left(-3\right)}^7$

$n=7$

Znamy już liczbę wyrazów, które dodawaliśmy – liczba $7$ jest liczbą naturalną dodatnią, więc spełnia warunki zadania. Wyznaczymy pierwszy wyraz ciągu.

$b_1=\frac{-26244}{{\left(-3\right)}^7}=12$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $12$. Dodawano $7$ wyrazów tego ciągu.

Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego $\left(c_n\right)$ jest równy $10000$, a siódmy jest równy $62500$. Wyznaczymy sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Oznaczmy:
$c_5$ – piąty wyraz rozważanego ciągu,
$c_7$ – siódmy wyraz ciągu,
$S_5$ – suma pierwszych pięciu wyrazów ciągu.

Zauważmy, że $c_7=c_5·q^2$. Zatem:

$62500=10000·q^2$

$q^2=6,25$

$q=2,5$ lub $q=-2,5$

Ponieważ ciąg ma być rosnący, zatem $q=2,5$.

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$c_5=c_1·q^4$

$10000=c_1·{\left(\frac{5}{2}\right)}^4$

$c_1=256$

Obliczamy sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu.

$S_5=256·\frac{1-{\left(\frac{5}{2}\right)}^5}{1-\frac{5}{2}}$

$S_5=256·\frac{\frac{3093}{32}}{\frac{3}{2}}$

$S_5=16496$

Odpowiedź:

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu jest równa $16496$.

Dany jest malejący ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ sześciowyrazowy. Suma trzech pierwszych wyrazów jest równa $168$, a suma trzech końcowych wyrazów jest ośmiokrotnie mniejsza. Znajdziemy wyraz ogólny ciągu i obliczymy wszystkie wyrazy tego ciągu.

Oznaczmy:
$a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_6$ – kolejne wyrazy ciągu.

Na podstawie treści zadnia możemy zapiać, że

$a_1+a_2+a_3=168$ i $a_4+a_5+a_6=168:8=21$

Wynika stąd, że $S_6=168+21=189$.

Teraz możemy zapisać odpowiedni układ równań, korzystając ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

Ponieważ ciąg jest malejący, zatem $q\ne 1$.

$a_1·\frac{1-q^3}{1-q}=168$ i $a_1·\frac{1-q^6}{1-q}=189$

Dzielimy stronami drugie z otrzymanych równań przez pierwsze.

$a_1·\frac{1-q^6}{1-q}:\left(a_1·\frac{1-q^3}{1-q}\right)=189:168$

$\frac{a_1\left(1-q^6\right)}{1-q}·\frac{1-q}{a_1\left(1-q^3\right)}=\frac{189}{168}$

Skracamy ułamki i korzystamy z tego, że $1-q^6=\left(1-q^3\right)\left(1+q^3\right)$.

$1+q^3=\frac{9}{8}\Rightarrow q=\frac{1}{2}$

Znajdujemy teraz pierwszy wyraz ciągu.

$a_1·\frac{1-\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=168$

$a_1=168·\frac{4}{7}=96$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu: $a_n=96·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$, gdy $n\in \left\{\mathrm{1,} 2, \mathrm{3,} 4, \mathrm{5,} 6\right\}$.

Kolejne wyrazy ciągu to: $96$, $48$, $24$, $12$, $6$, $3$.

Rozwiążemy równanie wiedząc, że lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1+\dots +x=255,75$

Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że liczby

$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1\dots$

są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $\frac{1}{4}$, a iloraz

$q=\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{4}{2}=2$

Liczba $255,75$ jest sumą kolejnych wyrazów tego ciągu. Ustalimy ilu.

Zapisujemy lewą stronę równania, korzystając ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$\frac{1}{4}·\frac{1-2^n}{1-2}=255,75$

$2^n-1=1023$

$2^n=1024$

$n=10$

Obliczyliśmy, że lewa strona równania jest sumą dziesięciu wyrazów ciągu. Zatem $x$ to dziesiąty wyraz tego ciągu. Czyli

$x=\frac{1}{4}·2^{10-1}=\frac{512}{4}=128$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $128$.

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu