Przeczytaj

W prostokątnym układzie współrzędnych rozważmy wektor $\vec{A B}$ , gdzie $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ .

Ry0vv4fekHUZl

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y bez zaznaczonych współrzędnych. Na płaszczyźnie zaznaczonych jest pięć wektorów. Wektor A prim B prim położony jest na osi X. Jego początek wyznacza punkt A prim należący do ujemnej półosi OX o współrzędnych X A, zero. Jego koniec wyznacza punkt B prim należący do dodatniej półosi OX o współrzędnych X B zero. Nad tym wektorem znajduje się wektor AC, który ma tę samą długość i ten sam zwrot. Jego początek znajduje się w punkcie A o współrzędnych X A Y A (druga ćwiartka), natomiast jego koniec jest w punkcie C o współrzędnych X B Y A (pierwsza ćwiartka). Wektor AC przecina oś Y w punkcie A prim prim równym zero Y A. Na końcu wektora AC zaczepiony jest pionowy wektor CB, którego koniec znajduje się w punkcie X B Y B (pierwsza ćwiartka). Na rysunku widnieje także suma wektorów AC oraz CB, czyli ukośny wektor AB poprowadzony z początku wektora AC do końca wektora CB. Te trzy wektory tworzą trójkąt prostokątny. Na rysunku umieszczony jest również wektor A prim prim B prim prim, który jest równy wektorowi CB co do długości oraz zwrotu. Wektor A prim prim B prim prim leży na osi Y. Jego początek znajduje się w punkcie A prim prim o współrzędnych zero Y A, a koniec w punkcie B prim prim o współrzędnych zero Y B.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku powyżej, możemy zauważyć, że $\vec{A B} = \vec{A C} + \vec{C B}$ , gdzie wektor $\vec{A C}$ jest równoległy do osi $X$ , zaś wektor $\vec{C B}$ jest równoległy do osi $Y$ . Zrzutujmy teraz prostopadle punkty $A$ i $B$ na osie układu. Otrzymamy wówczas punkty $A' = (x_{A}, 0), B' = (x_{B}, 0), A'' = (0, y_{A}), B'' = (0, y_{B})$ . Ponieważ $\vec{A' B'}$ i $\vec{A'' B''}$ są wektorami na osiach, więc ich współrzędne są równe $\vec{A' B'} = [x_{B} - x_{A}]$ i $\vec{A'' B''} = [y_{B} - y_{A}]$ . Możemy ponadto zauważyć, że $\vec{A C} = \vec{A' B'}$ , $\vec{C B} = \vec{A'' B''}$ , czyli $\vec{A C} = [x_{B} - x_{A}]$ , $\vec{C B} = [y_{B} - y_{A}]$ . Liczby te przyporządkowujemy wektorowi $\vec{A C}$ jako jego współrzędne w układzie współrzędnych.

współrzędne wektora w układzie współrzędnych

Definicja: współrzędne wektora w układzie współrzędnych

Jeśli $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , to współrzędnymi wektora $\vec{A B}$ w układzie współrzędnychwspółrzędnymi wektora $\vec{A B}$ w układzie współrzędnych nazywamy liczby $x_{B} - x_{A}$ i $y_{B} - y_{A}$ , co zapisujemy $\vec{A B} = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]$ .

Zauważmy jeszcze, że jeśli początek danego wektora znajduje się w początku układu współrzędnych, to współrzędne końca tego wektora są równe współrzędnym wektora.

R15jXSVF4tBwQ

Na ilustracji przedstawiony jest fragment układu współrzędnych w postaci pierwszej ćwiartki z poziomą osią X oraz pionową osią Y bez zaznaczonych współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowany jest wektor OP poprowadzony z początku układu współrzędnych do punktu P o współrzędnych A B. Liniami przerywanymi narysowane są także rzuty punktu na osie.

Ponadto współrzędne wektora zerowego są zerami: $\vec{0} = [0, 0]$ .

Przykład 1

Dane są punkty: $A = (1, 2), B = (- 2, 3), C = (3, - 4)$ . Wyznaczymy współrzędne wektorów:

$\vec{A B} = [- 2 - 1, 3 - 2] = [- 3, 1]$

$\vec{B C} = [3 - (- 2), - 4 - 3] = [5, - 7]$

$\vec{A C} = [3 - 1, - 4 - 2] = [2, - 6]$

Przykład 2

Wyznaczymy wartość parametru $m$ tak, aby wektor $\vec{A B}$ miał współrzędne $[m - 1, - 7]$ , gdzie $A = (2 m - 2, 7), B = (4 m, 0)$ .

Zgodnie z definicją współrzędnych wektora są one równe różnicy współrzędnych końca i początku, czyli $[4 m - (2 m - 2), 0 - 7] = [2 m + 2, - 7]$ . Z warunków zadania otrzymane współrzędne mają być równe $[m - 1, - 7]$ . Drugie współrzędne są równe dla każdej wartości parametru $m$ , zaś z równości pierwszych współrzędnych wynika równanie:

$2 m + 2 = m - 1 m = - 3$

Zatem warunki zadania spełnia $m = - 3$ .

Poczyńmy jeszcze tylko jedno spostrzeżenie: współrzędne wektorawspółrzędne wektora to “instrukcja”, jak się poruszać, żeby dostać się z początku tego wektora do jego końca. Pierwsza współrzędna określa przemieszczenie w poziomie (jeśli jest dodatnia, to ruch wykonujemy w prawo, jeśli ujemna - w lewo), druga - w pionie (jeśli jest dodatnia, to ruch wykonujemy w górę, jeśli ujemna - w dół). Na przykład współrzędne $\vec{H I} = [- 3, 2]$ oznaczają, że aby przemieścić się z punktu $H$ do punktu $I$ , wystarczy poruszyć się o $3$ jednostki w lewo i $2$ jednostki do góry.

RfMOZWLE6u2RV

Na ilustracji widnieje siatka, na której narysowane są trzy wektory, które razem budują trójkąt prostokątny. Na rysunku przyjęte jest, że dwie kratki siatki to jeden. Z punktu H umieszczonego po prawej stronie poprowadzony jest w lewo poziomy wektor podpisany jako minus trzy. Z jego końca do góry poprowadzony jest pionowy wektor do punktu I podpisany jako dwa. Z punktu H jest poprowadzony również wektor HI, którego koniec znajduje się w punkcie I.

Słownik

współrzędne wektora w układzie współrzędnych

liczby równe różnicom współrzędnych końca i początku wektora; dla punktów $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ współrzędne wektora $\vec{A B}$ są równe $[x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik