Warto przeczytać

Energia kinetyczna punktu materialnego o masie $m$, poruszającego się z prędkością $\overrightarrow{v}$ wynosi, jak pamiętamy, $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$. Wyznaczenie energii tego ciała w ruchu  obrotowym wymaga przypomnienia relacji $v=\omega r$, gdzie $\omega$ to wartość prędkości kątowej tego ciała wokół osi odległej o $r$ i prostopadłej do wektora prędkości liniowej. Wstawiając ten związek do wzoru na energię kinetyczną otrzymamy:

Oznacza to, że dwa ciała o tej samej masie, obracające się z tą samą prędkością kątową wokół tej samej osi, będą miały różną energię kinetyczną, jeśli są w różnej odległości od tej osi. Z drugiej strony, energie te będą różne dla dwóch identycznych ciał będących w tej samej odległości od osi, jeśli ciała te będą poruszać się z różnymi prędkościami kątowymi.

Powyższy przykład jest dość elementarny. Zastanówmy się teraz nad sytuacją, w której obracają się nie punkty materialne lecz bryła sztywna.

W specjalnym przypadku bryły będącej zbiorem punktów materialnych, jej energia kinetyczna w ruchu obrotowym jest sumą energii kinetycznych wszystkich jej (punktowych) składników:

W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z definicji momentu bezwładności:

dla skończonego układu punktów materialnych. Okazuje się, że wyprowadzenie to działa dla ogólnego przypadku bryły sztywnej:

Dla zainteresowanych

Uwaga: Związek energii kinetycznej ruchu obrotowego dla bryły sztywnej jest uogólnieniem obowiązującym dla bryły składającej się ze skończonej liczby punktowych mas na przypadek ciągłego rozkładu materii.

We wzorze na moment bezwładności suma po skończonym zbiorze zamienia się na całkę z gęstości (stałej, jeśli bryła jest jednorodna) mnożonej przez kwadrat odległości $|\vec{r}_\perp|$ od osi (Rys. 1.). Wykonujemy ją po obszarze całej bryły:

$I=\int_B^{ }\varrho(\vec{r})|\vec{r}_{\perp}|^2.$

Całkę należy w tym przypadku rozumieć następująco: dzielimy bryłę na N części (niebieski sześcianik na Rys. 1. odpowiada jednemu elementowi spośród wszystkich, na które ją podzieliliśmy), dla każdej obliczamy gęstość, mnożymy przez kwadrat odległości tej części od osi obrotu i sumujemy po wszystkich częściach od 1 do N. Im większe N, tym „drobniejszy” i „dokładniejszy” podział bryły i tym bliższy wynik takiego sumowania jest rzeczywistemu wynikowi.

R1hoVMnzfIdyU

Rys. 1. Rysunek pokazuje poglądowo nieregularną, wypukłą, trójwymiarową bryłę sztywną. Narysowano ją czerwoną linią. Środek bryły stanowi również środek prostokątnego, trójwymiarowego układu współrzędnych. Osie układu narysowane są w postaci nieopisanych strzałek. Na powierzchni bryły umieszczono mały niebieski wycinek objętości. Ze środka układu współrzędnych do środka tego wycinka biegnie czarna strzałka opisana małą literą r. Jest to wektor położenia tego obszaru w stosunku do środka masy bryły. Od osi pionowej, z punktu widocznego na wysokości niebieskiego obszaru biegnie druga, zielona strzałka wskazującą na niebieski obszar. Opisano ją małą literą r z indeksem dolnym symbol prostopadłości. Jeżeli oś pionowa układu współrzędnych stanowi oś obrotu bryły to zielony wektor opisuje odległość niebieskiego obszaru od osi obrotu.

Przyjrzyjmy się zastosowaniom tego wzoru w kilku szczególnych przypadkach.

Przykład 1 – bryła o tej samej masie, ale różnych rozmiarach

Z dwóch kawałków ołowiu o masie $m$ każdy, wykonano dwa walce, o promieniu $R_1$ i $R_2$, przy czym $R_2>R_1$. Różnią się oczywiście w związku z tym wysokością, jak na Rys. 2. Oba walce obracają się wokół swoich osi symetrii z prędkością kątową $\omega$. Który z nich ma większą energię kinetyczną?

R1AVhn83sO0Rz

Rys. 2. Rysunek przedstawia dwa pionowo ustawione walce. Walec po lewej jest szary, a jego wysokość jest większa od promienia podstawy. Przez środek podstawy przechodzi oś obrotu prostopadła do powierzchni podstawy. Oś obrotu narysowano niebieską przerywaną linią. Powyżej walca wokół osi obrotu zaznaczono kierunek obrotu, przeciwny do ruchu wskazówek zegara, narysowany w postaci niepełnego niebieskiego kółka wokół osi z zaznaczonym grotem. Kierunek obrotu opisany jest małą grecką literą omega, która jest również symbolem oznaczającym prędkość kątową. Poniżej walca opisano wielką literą R z indeksem dolnym jeden promień jego podstawy. Drugi walec po prawej jest również szary, a jego wysokość jest mniejsza od promienia podstawy. Przez środek podstawy przechodzi oś obrotu prostopadła do powierzchni podstawy. Oś obrotu narysowano niebieską przerywaną linią. Powyżej walca, wokół osi obrotu zaznaczono kierunek obrotu, przeciwny do ruchu wskazówek zegara, narysowany w postaci niepełnego niebieskiego kółka wokół osi z zaznaczonym grotem. Kierunek obrotu opisany jest małą grecką literą omega, która jest również symbolem oznaczającym prędkość kątową. Poniżej walca opisano wielką literą R z indeksem dolnym dwa promień jego podstawy.

Skoro $R_2>R_1$, to $E_{k2}>E_{k1}$. Obie bryły mają tę samą masę, ale różnią się rozkładem tej masy w przestrzeni. W przypadku spłaszczonego walca większa część tej masy znajduje się w większej odległości od osi obrotu niż w przypadku walca o mniejszym promieniu. Stąd większa energia kinetyczna ruchu obrotowego przy tej samej prędkości kątowej.

Przykład 2 – bryły o jednakowej masie i różnym kształcie

Z tej samej masy ołowiu odlano kulę i walec o tym samym promieniu. Na wstępie zastanówmy się, jaki jest związek pomiędzy promieniem kuli i wysokością walca. Skoro obie bryły wykonano z tej samej substancji, to wobec równej gęstości, równość mas oznacza równość ich objętości. Stąd:

więc,

Możemy zatem wykonać Rys. 3. i zadać pytanie: które z tych ciał będzie miało większą energię kinetyczną, jeśli rozpędzimy je do tej samej prędkości kątowej wokół wskazanych osi?

RAG2RzzgD0x0h

Rys. 3. Rysunek po lewej przedstawia szary, pionowo ustawiony walec, którego wysokość jest mniejsza od promienia podstawy. Przez środek podstawy walca przechodzi oś obrotu prostopadła do powierzchni podstawy. Oś obrotu narysowano niebieską przerywaną linią. Powyżej walca wokół osi obrotu zaznaczono kierunek obrotu, narysowany w postaci niepełnego niebieskiego kółka z zaznaczonym grotem, przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Kierunek obrotu opisany jest małą grecką literą omega, która jest również symbolem oznaczającym prędkość kątową. U podstawy walca oznaczono wielką literą R jej promień. Po prawej pokazano szarą kulę o promieniu opisanym wielką literą R, takim samym jak promień podstawy walca przedstawionego obok. Przez środek kuli przechodzi pionowa oś obrotu. Oś obrotu narysowano niebieską przerywaną linią. Powyżej kuli, wokół osi obrotu zaznaczono kierunek obrotu narysowany w postaci niepełnego niebieskiego kółka z zaznaczonym grotem, przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Kierunek obrotu opisano małą grecką literą omega, która jest również symbolem oznaczającym prędkość kątową.

Przypomnijmy, że moment bezwładności walca to $I_w=\frac{1}{2}m{R}^2$, a kuli $I_k=\frac{2}{5}m{R}^2$.

Wobec tego walec ma większą energię kinetyczną. Aby lepiej zrozumieć ten wynik, spójrzmy na Rys. 4.

R1Y9iqZHexHrf

Rys. 4. Rysunek po lewej przedstawia przekrój walca widziany z góry, pokazany w postaci okręgu narysowanego czarnym kolorem. Przez środek okręgu przechodzi pionowa przerywana linia, a ze środka okręgu w prawo wychodzi druga, również przerywana pozioma linia, opisana wielką literą R, symbolizująca promień okręgu. Za okręgiem widoczny jest poziomo ustawiony prostokąt, którego poziomy bok jest dłuższy niż pionowy. Długość poziomego boku prostokąta jest równa średnicy okręgu, a długość pionowego boku prostokąta jest krótsza od średnicy okręgu. Prostokąt znajduje się za okręgiem. Rysunek po prawej pokazuje ponownie przekrój walca widziany z góry, pokazany w postaci okręgu narysowanego czarnym kolorem. Przez środek okręgu przechodzi pionowa przerywana linia. Za okręgiem pokazano poziomo ustawiony prostokąt, którego poziomy bok jest dłuższy niż pionowy. Długość poziomego boku prostokąta jest równa średnicy okręgu, a długość pionowego boku prostokąta jest krótsza od średnicy okręgu. Prostokąt znajduje się za okręgiem, a niewidoczne krawędzie narysowano w postaci czarnych przerywanych linii. Lewy górny i dolny róg prostokąta oznaczono wielkimi literami B. Punkty przecięcia pionowej przerywanej linii i przerywanych, niewidocznych boków prostokąta oznaczono wielkimi literami A. Prawy pionowy bok prostokąta przedłużono przerywaną czarną linią. Obok, delikatnie po lewej narysowana jest druga pionowa przerywana linia równoległa do boku prostokąta. Odległość między tą linią a prawym, pionowym bokiem prostokąta oznaczono wielką literą grecką delta i wielką literą R. Nad okręgiem oznaczono jego promień jako odległość od przerywanej, pionowej linii biegnącej przez środek okręgu a przedłużeniem prawego pionowego boku prostokąta.

Widzimy nałożony na siebie przekrój kuli i walca o tym samym promieniu $R$ i tej samej objętości. Wyobraźmy sobie, że dzielimy te figury na cienkie warstwy o bardzo małej grubości, jak w prawej części Rys. 4. Zwróćmy uwagę, że w przypadku kuli w odległości $R$ od osi obrotu znajduje się tylko mały jej fragment położony na obwodzie kuli. Jednakże w przypadku walca, jest to cała zewnętrzna powierzchnia walcowa o grubości $\Delta R$. Innymi słowy – większa część walca znajduje się w większej odległości od osi obrotu niż w przypadku omawianej kuli. Stąd przy tej samej prędkości obrotowej większa jest energia kinetyczna walca.

Innym sposobem czysto geometrycznego uzasadnienia otrzymanej nierówności jest zauważenie, że części kuli oznaczone przez A dają mniejszy wkład do momentu bezwładności niż części walca oznaczone przez B. Części te mają z założenia równe objętości, a więc i masy.

Przykład 3 – praca wykonana przy wprawieniu bryły w ruch obrotowy

Z żelaza odlano okrągłą obręcz o masie $m$ i promieniu $R$. Obręcz zamocowana jest poprzez szprychy o pomijalnej masie na osi, może się zatem obracać dookoła osi przechodzącej przez swój środek masy. Oś połączona jest mechanizmem kół zębatych z maszyną, która rozpędza obręcz do pewnej prędkości kątowej $\omega$. Jaką pracę wykonała ta maszyna?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, skorzystajmy z twierdzenia o pracy i energii – zmiana energii $E$ układu wymaga wykonania pracy $W$ i wielkości te są sobie równe: $\Delta E=W$. Zatem nie musimy analizować siły (i momentu siły) jaką maszyna działała na obręcz poprzez koła zębate - wystarczy, że spojrzymy na stan początkowy i końcowy: energia kinetyczna ruchu obrotowego zmieniła się z 0 do $\frac{I{\omega }^2}{2}$, czyli zmiana energii wyniosła $\Delta E=\frac{I{\omega }^2}{2}$. Wobec tego praca wykonana przez maszynę to $W=\frac{I{\omega }^2}{2}=\frac{m{R}^2{\omega }^2}{2}$.

Odwróćmy teraz pytanie z przykładu 3: jaką pracę może wykonać ta rozkręcona obręcz? Ponownie skorzystamy z twierdzenia o pracy i energii, odpowiadając: $W=\Delta E$. Ta właśnie myśl, że można najpierw wykonać pracę, aby wprawić w ruch obrotowy masywną bryłę sztywną, a następnie wykorzystać jej energię kinetyczną do wykonania pracy, leży u podstaw konstrukcji koła zamachowegoKoło zamachowe (ang. flywheel)koła zamachowego. Przykłady takich urządzeń widoczne są na Rys. 5a‑d.

RRehNZ0Qi6MVs

Rys. 5a. Zdjęcie poglądowe przedstawia urządzenie zabawkę o nazwie Powerball. Jego konstrukcja to przykład obracającej się bryły sztywnej. Wewnątrz urządzenia znajduje się rotor, który wiruje wokół osi – obraca się prostopadle do osi rdzenia. Cały ruch wywoływany jest siłą naszych mięśni. Powerball jest w stanie wykonać nawet 20 tysięcy obrotów na minutę.

R14uImHcmnXQ5

Rys. 5b. Zdjęcie przedstawia koło zamachowe montowane w samochodach. Przypomina ono metalowe, niepełne koło mogące obracać się wokół osi prostopadłej do powierzchni koła i umiejscowionej w jego środku.

RjvR41fb6DoDL

Rys. 5c. Na ilustracji pokazano olbrzymie koło zamachowe wykorzystywane w kopalniach. Pionowo ustawione, masywne, żelazne koło ze "szprychami" obraca się wokół poziomej osi symetrii. Obok znajduje się mniejsze koło, też ustawione pionowo wprawiane w ruch większym kołem przy pomocy systemu zębatek i wałów. Do obwodu mniejszego koła przytwierdzony jest żelazny wał w postaci walca wprawiany w ruch periodyczny ruchem mniejszego koła. W tle widać wnętrze budynku i turystów obserwujących działanie urządzenia.

RweHWyoV4ZcUW

Rys. 5d. Zdjęcie poglądowe przedstawia koło garncarskie i garncarza podczas pracy. Jest to przykład konstrukcji koła zamachowego. Garncarz dotyka palcami kształtu naczynia glinianego podczas ruchu koła garncarskiego. Wygładza w ten sposób powierzchnię naczynia, może regulować jego kształt i grubość.

Koło zamachoweKoło zamachowe (ang. flywheel)Koło zamachowe zaprezentowane we wstępie (Rys. a.) to „Szaleniec z Maleńca” – masa tego koła wynosiła aż 38 ton! Młyn wodnymłyn wodny (ang. watermill)Młyn wodny rozpędzał je stopniowo, poprzez system przekładni, a zgromadzona w ten sposób energia kinetyczna była wystarczająca, aby następnie mogła zostać przekazana i wykorzystana w urządzeniach w hucie. Widoczne na Rys. 5b. koło dwumasowe również jest magazynem energii kinetycznej – służy do tłumienia drgań w układzie napędowym samochodu. Garncarz również używa koła zamachowego, rozpędza koło garncarskie (Rys. 5d) na początku swojej pracy, a potem korzysta z rozpędzonej tarczy przy tworzeniu glinianych wyrobów. Natomiast zabawka typu „powerball” (Rys. 5a) polega na rozkręceniu za pomocą sznurka masywnej kuli, zachowując się następnie jak żyroskop. Wszystkie te urządzenia wykorzystują energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej.

Słowniczek