bok, kąt, bok – przystawanie dwóch par boków i kąta między nimi,
kąt, bok, kąt – przystawanie dwóch kątów i boku pomiędzy nimi.
Przykład 1
Rozwiążemy trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma miarę a przeciwprostokątna miarę .
Rozwiązanie:
Zaczniemy od znalezienia długości drugiej przyprostokątnej. W tym celu skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
RwwA2iClvmURj
Pozostaje znalezienie miar kątów trójkąta.
Skorzystamy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych:
R1Cyt4DHMKBYP
Zatem
a
Odpowiedź:
Omawiany trójkąt ma boki długości , i oraz kąty o mierze , i .
Przykład 2
Rozwiążemy trójkąt prostokątnyrozwiązać trójkąt prostokątnyRozwiążemy trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma miarę a kąt naprzeciwko tego boku ma miarę .
Rozwiazanie:
RHvBcbuPEhjjk
Zaczniemy od znalezienie miary drugiego kąta ostrego .
Aby znaleźć długości boków trójkąta skorzystamy z tablicy funkcji trygonometrycznych.
R79IQBtnueJCU
Zatem .
Długość boku można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
, więc .
Odpowiedź:
Omawiany trójkąt ma boki długości , i oraz kąty o mierze , i .
Przykład 3
Rozwiążemy trójkąt wiedząc, że najkrótszy bok trójkąta prostokątnego ma długość oraz jeden z kątów ostrych tego trójkąta ma miarę razy większą niż drugi.
Rozwiazanie:
Oznaczmy miarę mniejszego kąta jako . Wówczas , więc . Na przeciwko najmniejszego kąta trójkąta mamy najkrótszy bok. Zatem . Stąd . Pozostaje nam obliczyć długość dłuższej przyprostokątnej: , czyli
.
Odpowiedź:
Omawiany trójkąt ma boki długości , i oraz kąty o mierze , i .
Zwróćmy uwagę, że znając jedynie miarę kątów trójkąta nie jesteśmy w stanie go rozwiązać - trójkąty o takich samych miarach kątów nie są przystające a podobne.
Przykład 4
Wiedząc, że jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę oraz że obwód tego trójkąta wynosi rozwiążemy ten trójkąt.
Rozwiazanie:
Zaczniemy od obliczenia miary drugiego kąta ostrego: . Oznaczmy długości boków trójkąta jako . Zachodzą równości: , oraz . Korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych oraz wyznaczając i z dwóch pierwszych równań otrzymujemy: , po zsumowaniu: , więc , oraz .
Odpowiedź:
Przybliżowne długości boków omawianego trójkąta, to , i a przybliżone miary jego kątów, to , i .
Przykład 5
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Rozwiążemy ten trójkąt.
Rozwiazanie:
Sporządzimy rysunek pomocniczy:
RAMywsr9STcLx
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że , zatem , więc , . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta otrzymujemy, że , więc . Pozostaje zauważyć, że oraz ponownie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, tym razem dla trójkąta : , więc . Znajdziemy teraz miary kątów ostrych tego trójkąta korzystając np. z równości . Korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych ustalamy, że , więc .
Odpowiedź:
Omawiany trójkąt ma boki długości , i oraz kąty o mierze , około i około .
Słownik
rozwiązać trójkąt prostokątny
rozwiązać trójkąt prostokątny
podać długości wszystkich jego boków i miary wszystkich kątów
funkcje trygonometryczne kąta ostrego αalfa
funkcje trygonometryczne kąta ostrego αalfa
zależności między długościami boków w trójkącie prostokątnym, w którym jeden z kątów ma miarę