Funkcja $f:X\to Y$ jest równa funkcji $g:X\to Y$, gdy dla każdego elementu $x\in X$ spełniony jest warunek $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Funkcje $f$ i $g$ opisane są za pomocą wykresów.

REySFdFk0lifp

Ilustracja przedstawia dwa rysunki, na których znajdują się identyczne układy współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus sześciu do pięciu. Na obu rysunkach widnieją wykresy funkcji o tym samym kształcie i nieznacznych różnicach, które dalej omówimy. Po lewo narysowano wykres funkcji $f$ leżący w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce. Jest on łamaną otwartą o czterech ukośnych bokach (czyli odcinkach) i jednym poziomym. Pierwszy bok łamanej znajduje się w punkcie $\left(-6;5\right)$, a koniec tego boku znajduje się w punkcie $\left(-4;3\right)$. Punkt ten jest początkiem drugiego boku łamanej o końcu w punkcie $\left(-1;4\right)$. Punkt ten jest początkiem trzeciego, poziomego boku, którego koniec znajduje się w punkcie $\left(2;4\right)$. Czwarty bok zaczyna się w końcu poprzedniego, a jego koniec znajduje się w punkcie $\left(3;2\right)$. Jest to jednocześnie początek piątego boku o końcu w punkcie $\left(5;-6\right)$. Po prawo przedstawiona jest z kolei funkcja $g$, która kształtem jest niemal identyczna. Wykresy różnią się dwoma punktami, otóż do funkcji $g$ nie należy punkt o współrzędnych $\left(2;4\right)$, a zamiast niego elementem wykresu jest punkt izolowany, czyli leżący poza wytyczoną łamaną i ma on współrzędne $\left(2;1\right)$. Poza tym drugi punkt, którym różnią się wykresy, to punkt końcowy ostatniego boku łamanej, czyli punkt $\left(5;-6\right)$. Punkt ten należy do funkcji $f$, jednak nie należy do funkcji $g$ i na prawym rysunku jest oznaczony jako niezamalowany.

Sprawdzimy, czy funkcje te są równe.

Rozwiązanie:

Sprawdzimy, czy spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji. W tym celu wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

$D_f=⟨-6,5⟩$

$D_g=⟨-6,5)$

$D_f\ne D_g$

Funkcje $f$ i $g$ mają różne dziedziny.

Nie jest więc spełniony pierwszy warunek równości funkcji.

Zatem funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-3, 2\right), \left(-2, 3\right), \left(-1, 4\right), \left(0, 5\right), \left(1, 6\right)\right\}$.

Funkcja $g$ opisana jest za pomocą tabelki.

Sprawdzimy, czy te funkcje są równe.

Rozwiązanie:

Sprawdzimy, czy spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji. Porównamy dziedziny obu funkcji.

$D_f=\left\{-3, -2, -1, 0, 1\right\}$,

$D_g=\left\{-3, -2, -1, 0, 1, 2\right\}$.

$D_f\ne D_g$

Funkcje $f$ i $g$ mają różne dziedziny.

Nie jest więc spełniony pierwszy warunek równości funkcji.

Zatem funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=x+\sqrt{5}-2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Funkcja $g$ opisana jest za pomocą wzoru.

$g\left(x\right)=x+\frac{1}{\sqrt{5}+2}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykażemy, że funkcje $f$ i $g$ są równe.

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że funkcje $f$ i $g$ są równe musimy udowodnić spełnienie obu warunków równości funkcji.

Warunek pierwszy jest spełniony, ponieważ dziedziny obu funkcji są takie same.

$D_f=\mathrm{ℝ}$ oraz $D_g=\mathrm{ℝ}$

$D_f=D_g$

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek drugi.

Przekształcimy wzór opisujący funkcję $g$.

$g\left(x\right)=x+\frac{1}{\sqrt{5}+2}=x+\frac{1}{\sqrt{5}+2}·\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=x+\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=$

$=x+\frac{\sqrt{5}-2}{1}=x+\sqrt{5}-2$

Po usunięciu niewymierności z mianownika okazało się, że wzory opisujące funkcje $f$ i $g$ są identyczne.

Stąd wniosek, że dla dowolnego argumentu wartości funkcji $f$ i $g$ są jednakowe.

Zatem funkcje $f$ i $g$ są równe.

Zbadamy, czy funkcje $f\left(x\right)=\frac{5·\left(x-3\right)}{x-3}$ i $g\left(x\right)=5$ są równe.

Naszkicujemy wykresy tych funkcji i porównamy je.

Rozwiązanie:

Określimy dziedziny tych funkcji.

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$

$D_g=\mathrm{ℝ}$

Zauważamy, że $D_f\ne D_g$.

Stąd wniosek, że funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w prostszej postaci: $f\left(x\right)=5$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$ przyjmuje wartość $5$.

Funkcja $g$ przyjmuje wartość $5$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

Naszkicujemy wykresy obu funkcji.

RVYB3nvpxQMWh

Ilustracja przedstawia dwa rysunki, na których znajdują się identyczne układy współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do siedmiu. Na obu rysunkach widnieją wykresy funkcji o tym samym kształcie i nieznacznych różnicach, które dalej omówimy. Po lewo narysowano wykres funkcji $f$ leżący w pierwszej i drugiej ćwiartce. Jest on poziomą linią na wysokości $y=5$, z której usunięto jeden punkt o współrzędnych $\left(3;5\right)$. Po prawo narysowano wykres funkcji $g$ opisanej wzorem $g\left(x\right)=5$.

Analizując wykresy funkcji $f$ i $g$ możemy zauważyć, że różnią się one jednym punktem.

Stąd wniosek, że funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Wykażemy, korzystając z definicji, że funkcje $f$ i $g$ są równe.

$f\left(x\right)=\frac{2x-4}{4x^2-16x+16}$, $g\left(x\right)=\frac{1}{2x-4}$.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Funkcja $f$ – zapiszemy wyrażenie znajdujące się w mianowniku wzoru funkcji  w postaci iloczynowej.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

$f\left(x\right)=\frac{2x-4}{{\left(2x-4\right)}^2}$

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Zapisujemy to w następującej postaci:

$2x-4\ne 0\iff 2x\ne 4\iff x\ne 2$

Stąd $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Po skróceniu wzór funkcji $f$ ma postać:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2x-4}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Dziedziną funkcji $g$ jest zbiór:

$D_g=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Możemy zauważyć, że spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji:

$D_f=D_g$.

Sprawdzimy, czy spełniony jest drugi warunek równości funkcji.

Po przekształceniu wzoru funkcji $f$ otrzymaliśmy wyrażenie algebraiczne, które jest identyczne jak wzór funkcji $g$.

Okazało się, że wzory funkcji $f$ i $g$ są identyczne.

Stąd wynika, że dla dowolnego argumentu wartości funkcji $f$ i $g$ są jednakowe.

Funkcje $f$ i $g$ są równe.

Wykażemy, że funkcje $f$ i $g$ nie są równe, jeśli:

a) $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-2}$, $g\left(x\right)=\frac{2x\left(x-2\right)}{4-2x}$,

b) $f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}$, $g\left(x\right)=1$.

Rozwiązanie:

Ad. a). Wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Dziedzina funkcji $f$.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Zapisujemy to w następującej postaci:

$x-2\ne 0\iff x\ne 2$

Zatem $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Dziedzina funkcji $g$.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Zapisujemy to w sposób następujący:

$4-2x\ne 0\iff 2·\left(2-x\right)\ne 0\iff 2-x\ne 0\iff x\ne 2$

Zatem $D_g=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Możemy zauważyć, że spełniony jest pierwszy warunek równości funkcji.

$D_f=D_g$.

Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek drugi. W tym celu przekształcimy tożsamościowo wzory opisujące obie funkcje.

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-2}=\frac{x\left(x-2\right)}{x-2}=x$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$

$g\left(x\right)=\frac{2x\left(x-2\right)}{4-2x}=\frac{2x\left(x-2\right)}{-2·\left(x-2\right)}=-x$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$

Aby wykazać, że funkcje $f$ i $g$ nie są równe wystarczy znaleźć jeden argument, dla którego wartości funkcji są różne. Np. $x=3$.

$f\left(3\right)=3$,

$g\left(3\right)=-3$.

Zatem funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Ad. b). Wyznaczymy dziedziny obu funkcji.

Dziedzina funkcji $f$.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

$x\ne 0$

Zatem $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Dziedzina funkcji $g$.

Funkcja $g$ przyjmuje wartość $1$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

Zatem $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Dziedziny obu funkcji są różne, czyli nie spełniony jest warunek pierwszy.

Funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

funkcje, które mają taką samą dziedzinę i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości funkcji są równe