Przeczytaj

Przypomnijmy, że pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby nieujemnej $a$ jest taka liczba nieujemna $b$ , która podniesiona do potęgi $n$ jest równa liczbie $a$ , czyli

$\sqrt[n]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{n}$ , dla $a \geq 0$ , $b \geq 0$ i $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ .

Ponadto jeśli stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to możemy zdefiniować również pierwiastek z liczby ujemnej.

Własności pierwiastkowania

Własność: Własności pierwiastkowania

Przy okazji wcześniejszych tematów omówiliśmy dwie własności pierwiastkowania:

rozdzielność pierwiastkowania względem mnożenia, która orzeka, że:
$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , dla $a \geq 0$ , $b \geq 0$ i $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ ,
rozdzielność pierwiastkowania względem dzielenia, która orzeka, że:
$\sqrt[n]{a : b} = \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b}$ , dla $a \geq 0$ , $b > 0$ i $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ .

Analogiczne własności mają pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych.

W poniższej tabelce zestawimy pozostałe własności pierwiastkowania wraz z koniecznymi założeniami:

$\sqrt[n]{a^{n}} = \|a\|$	$a \in ℝ, n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$
${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$	$a \geq 0, n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$
${(\sqrt[n]{a})}^{p} = \sqrt[n]{a^{p}}$	$a \geq 0, p \in ℝ, n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$

Rozważmy teraz następujący przykład.

Przykład 1

$\sqrt[3]{\sqrt{729}} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt[6]{729} = 3$

$\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[5]{32} = 2$

$\sqrt{\sqrt[5]{1024}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt[10]{1024} = 2$

Na podstawie powyższego przykładu można postawić hipotezę, że:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n m]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ , dla $a \geq 0$ oraz $n, m \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ , której dowód tutaj pomijamy.

W trakcie rozwiązywania zadań będą nam przydatne również prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych:

przemienność dodawania i mnożenia:
$a + b = b + a$ oraz $a \cdot b = b \cdot a$ , dla dowolnych $a, b \in ℝ$ ;
rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania:
$a (x + y) = a \cdot x + a \cdot y$ oraz $a (x - y) = a \cdot x - a \cdot y$ , dla dowolnych $a, x, y \in ℝ$ ;
prawostronna rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania:
$(x + y) : a = x : a + y : a$ oraz $(x - y) : a = x : a - y : a$ , dla dowolnych $x, y \in ℝ$ , $a \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Przykład 2

Przekształcimy do postaci sumy następujące wyrażenia:

a) $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{3} + 1) =$

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowaniarozdzielności mnożenia względem odejmowania.

$= \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 1) - 1 \cdot (\sqrt{3} + 1) =$

Z rozdzielności mnożenia względem dodawaniarozdzielności mnożenia względem dodawania.

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1 =$

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

$= \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1$

b) $(\sqrt{2} + 3) (\sqrt{2} - 4) =$

Z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$= \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 4) + 3 \cdot (\sqrt{2} - 4) =$

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 3 \cdot 4 =$

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

$= 2 - 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 12 =$

Redukcja wyrazów podobnych.

$= - \sqrt{2} - 10$

c) $(\sqrt[3]{25} + 5) : \sqrt[3]{5} =$

$= \sqrt[3]{25} : \sqrt[3]{5} + 5 : \sqrt[3]{5} =$

Z rozdzielności dzielenia względem dodawania.

$= \sqrt[3]{25 : 5} + \frac{5}{\sqrt[3]{5}} =$

Z rozdzielności pierwiastkowania względem dzielenia.

$= \sqrt[3]{5} + \frac{5}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}} =$

Usunięcie niewymierności z mianownika.

$= \sqrt[3]{5} + \frac{5 \sqrt[3]{25}}{5} =$

$= \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}$

Przykład 3

Przedstawimy podane liczby w postaci iloczynów

a) $\sqrt[5]{8} - \sqrt[5]{4} =$

$= \sqrt[5]{4 \cdot 2} - \sqrt[5]{4} =$

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

$= \sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{2} - \sqrt[5]{4} =$

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

$= \sqrt[5]{4} \cdot (\sqrt[5]{2} - 1)$

b) $\sqrt[4]{10} - 3 \sqrt[4]{2} - 4 \sqrt[4]{5} + 12 =$

Z rozdzielności pierwiastkowania względem mnożenia.

$= \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5} - 3 \sqrt[4]{2} - 4 \sqrt[4]{5} + 12 =$

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

$= \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt[4]{5} - 3) - 4 \cdot (\sqrt[4]{5} - 3) =$

Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.

$= (\sqrt[4]{5} - 3) (\sqrt[4]{2} - 4)$

Przykład 4

Uprościmy wyrażenie $\frac{\sqrt[7]{108} + \sqrt[7]{54} + 2 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{36} + \sqrt[7]{18} + 2 \sqrt[7]{9}}$ :

$\frac{\sqrt[7]{108} + \sqrt[7]{54} + 2 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{36} + \sqrt[7]{18} + 2 \sqrt[7]{9}} = \frac{\sqrt[7]{27 \cdot 4} + \sqrt[7]{27 \cdot 2} + 2 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{9 \cdot 4} + \sqrt[7]{9 \cdot 2} + 2 \sqrt[7]{9}} =$

$= \frac{\sqrt[7]{27} \cdot \sqrt[7]{4} + \sqrt[7]{27 \cdot} \sqrt[7]{2} + 2 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{9} \cdot \sqrt[7]{4} + \sqrt[7]{9} \cdot \sqrt[7]{2} + 2 \sqrt[7]{9}} = \frac{\sqrt[7]{27} \cdot (\sqrt[7]{4} + \sqrt[7]{2} + 2)}{\sqrt[7]{9} \cdot (\sqrt[7]{4} + \sqrt[7]{2} + 2)} = \frac{\sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{9}} = \sqrt[7]{3}$

Przykład 5

Suma dwóch liczb jest równa $\sqrt{10}$ , zaś ich różnica jest równa $\sqrt{5}$ . Wyznaczymy ich iloczyn.

Niech szukanymi liczbami będą $a$ i $b$ . Wówczas warunki zadania można zapisać następująco:

$a + b = \sqrt{10}$ $(1)$

$a - b = \sqrt{5}$ $(2)$

Zauważmy, że gdy dodamy lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania, zaś prawą stronę pierwszego równania do prawej strony drugiego równania, to otrzymamy równanie:

$a + b + a - b = \sqrt{10} + \sqrt{5}$

$2 a = \sqrt{10} + \sqrt{5}$

$a = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{2}$

Odejmijmy teraz lewą stronę drugiego równania od lewej strony pierwszego równania, zaś prawą stronę drugiego równania od prawej strony pierwszego równania:

$a + b - a + b = \sqrt{10} - \sqrt{5}$

$2 b = \sqrt{10} - \sqrt{5}$

$b = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2}$

Teraz możemy obliczyć iloczyn liczb $a$ i $b$ :

$a \cdot b = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{5}) (\sqrt{10} - \sqrt{5})}{4} =$

$= \frac{\sqrt{10} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{5})}{4} =$

$= \frac{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} - \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{4} = \frac{10 - \sqrt{50} + \sqrt{50} - 5}{4} = \frac{5}{4}$

Ważne!

W przekształceniach wyrażeń postaci $(a + b) (a - b)$ możesz korzystać z jednego ze wzorów skróconego mnożenia: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , które szczegółowo omówimy w innych lekcjach.

Przykład 6

Skorzystamy z powyższego wzoru w następujących przykładach:

$(\sqrt{7} - 2) (\sqrt{7} + 2) = {(\sqrt{7})}^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3$

$(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} + \sqrt{3}) = {(\sqrt{11})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 11 - 3 = 8$

$(2 \sqrt{3} + 5) (2 \sqrt{3} - 5) = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 5^{2} = 12 - 25 = - 13$

Przykład 7

Usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} =$

$= \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})} =$

$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

Przykład 8

Przedstawimy w postaci sumy następujące wyrażenia:

${(\sqrt{7} + 2)}^{2} = (\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2) = \sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} + 2) + 2 \cdot (\sqrt{7} + 2) =$

$= \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \cdot \sqrt{7} + 4 = 7 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 = 11 + 4 \sqrt{7}$

${(2 \sqrt{3} - 5)}^{2} = (2 \sqrt{3} - 5) (2 \sqrt{3} - 5) = 2 \sqrt{3} \cdot (2 \sqrt{3} - 5) - 5 \cdot (2 \sqrt{3} - 5) =$

$= 2 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 5 - 5 \cdot 2 \sqrt{3} - 5 \cdot (- 5) = 12 - 10 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3} + 25 =$

$= 37 - 20 \sqrt{3}$

Ważne!

W przekształceniach wyrażeń postaci ${(a + b)}^{2}$ i ${(a - b)}^{2}$ możesz korzystać z tzw. wzorów skróconego mnożenia:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Przykład 9

Zastosujemy powyższe wzory do następujących wyrażeń:

${(3 \sqrt{2} - 1)}^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 1^{2} = 18 - 6 \sqrt{2} + 1 = 19 - 6 \sqrt{2}$

${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = 2 + 2 \sqrt{6} + 3 = 5 + 2 \sqrt{6}$

Słownik

rozdzielność mnożenia względem dodawania

$a (x + y) = a \cdot x + a \cdot y$ , dla dowolnych $a, x, y \in ℝ$

rozdzielność mnożenia względem odejmowania

$a (x - y) = a \cdot x - a \cdot y$ , dla dowolnych $a, x, y \in ℝ$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik