Przeczytaj

W tym materiale przedstawimy przykłady równań, w których występują sumy szeregów geometrycznych.

Przy rozwiązywaniu równań należy zwrócić szczególną uwagę na to, jaka część nieskończonej sumy jest sumą szeregu geometrycznego. Najczęściej jest to zapisane w poleceniu, ale jeżeli nie ma takiej informacji, trzeba rozpoznać szereg na podstawie kilku początkowych wyrazów oraz wyrazu zapisanego w postaci ogólnej.

Należy także pamiętać o sprawdzeniu dziedziny, na którą istotny wpływ ma wartość ilorazu szeregu geometrycznego.

Koniecznie na końcu każdego rozwiązania równania trzeba sprawdzić, czy otrzymane wyniki należą do dziedziny równania.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie: $\frac{1}{x} + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{7}{2}$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie w postaci:

$x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{7}{2} - \frac{1}{x}$ .

Lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = x$ i ilorazie $q = x$ .

Aby szereg geometryczny był zbieżny, musi zachodzić warunek: $|x| < 1$ , czyli $x \in (- 1, 1)$ .

Korzystając z twierdzenia o sumie szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumie szeregu geometrycznego, otrzymujemy:

$\frac{x}{1 - x} = \frac{7}{2} - \frac{1}{x}$ .

Mnożymy równanie stronami przez $2 x (1 - x)$ i otrzymujemy:

$9 x^{2} - 9 x + 2 = 0$

$Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9$

$x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{2}{3}$ .

Sprawdzamy, że oba rozwiązania należą do przedziału $(- 1, 1)$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{3}$ lub $x = \frac{2}{3}$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie, w którym lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego: $x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{4} - 8 x^{5} + \dots = 2 x + 1$ .

Rozwiązanie

Lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = x^{2}$ i ilorazie $q = - 2 x$ .

Aby szereg geometryczny był zbieżny, musi zachodzić warunek: $|- 2 x| < 1$ , czyli $x \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy:

$\frac{x^{2}}{1 + 2 x} = 2 x + 1$

${(2 x + 1)}^{2} - x^{2} = 0$

$(2 x + 1 + x) (2 x + 1 - x) = 0$

$(3 x + 1) (x + 1) = 0$ .

Rozwiązaniami równania są:

$x = - 1 \notin (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

lub

$x = - \frac{1}{3} \in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

Odpowiedź: $x = - \frac{1}{3}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie, w którym lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego: $1 + (x^{2} + 3 x + 1) + {(x^{2} + 3 x + 1)}^{2} + \dots = \frac{4}{9}$ .

Rozwiązanie

Aby szereg z lewej strony równania był zbieżny, musi być spełniony warunek: $|x^{2} + 3 x + 1| < 1$ .

Zatem $x^{2} + 3 x + 1 < - 1$ lub $1 < x^{2} + 3 x + 1$ .

Rozwiązujemy nierówność: $x^{2} + 3 x + 1 < - 1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 < 0$

$Δ = 1$

$x_{1} = - 1$ lub $x_{2} = - 2$

Rozwiązaniem nierówności $x^{2} + 3 x + 1 < - 1$ jest każda liczba z przedziału $(- 2, - 1)$ .

Rozwiązujemy nierówność: $1 < x^{2} + 3 x + 1$ .

$0 < x^{2} + 3 x$

$0 < x (x + 3)$

$x_{3} = 0$ lub $x_{4} = - 3$

Rozwiązaniem nierówności $1 < x^{2} + 3 x + 1$ jest każda liczba ze zbioru $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$ .

Wobec tego szereg jest zbieżny dla $x \in (- \infty, - 3) \cup (- 2, - 1) \cup (0, + \infty)$ . Suma szeregu jest równa $\frac{1}{- x^{2} - 3 x}$ .

Zatem równanie ma postać:

$\frac{1}{- x^{2} - 3 x} = \frac{4}{9}$ .

$4 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

$Δ = 12^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0$

$x = - \frac{3}{2} \in (- 2, - 1)$

Odpowiedź: $x = - \frac{3}{2}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie, w którym lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego: $(1 - x) + \frac{1 - x^{2}}{x} + \frac{(1 - x) {(1 + x)}^{2}}{x} + \dots = 5 x^{2} + 21 x - 26$ .

Rozwiązanie

Aby szereg z lewej strony równania był zbieżny, musi być spełniony jeden z dwóch warunków: $(1 - x) = 0$ lub $|\frac{1 + x}{x}| < 1$ .

Rozwiążemy drugi warunek. Pomnóżmy strony nierówności przez $|x|$ :

$|1 + x| < |x|$ .

Podnieśmy nierówność do kwadratu:

${(1 + x)}^{2} < x^{2}$

$1 + 2 x + x^{2} < x^{2}$

$x < - \frac{1}{2}$ .

Ostatecznie lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup {1}$ .

Załóżmy, że $x < - \frac{1}{2}$ .

Wówczas możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

$S = \frac{1 - x}{1 - \frac{1 + x}{x}} = \frac{1 - x}{- \frac{1}{x}} = x (x - 1)$

$x^{2} - x = 5 x^{2} + 21 x - 26$

$4 x^{2} + 22 x - 26 = 0$

$2 x^{2} + 11 x - 13 = 0$ .

Zatem:

$x = 1 \notin (- \infty, - \frac{1}{2})$ lub $x = - \frac{13}{2} \in (- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Zauważmy jednak, że dla $x = 1$ równanie sprowadza się do postaci $0 = 0$ , czyli $x = 1$ jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź: $x = 1$ lub $x = - \frac{13}{2}$ .

Słownik

suma szeregu geometrycznego

jeżeli $|q| < 1$ lub $a_{1} = 0$ , to szereg geometryczny $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest zbieżny
jeżeli $a_{1} = 0$ , to $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1} = 0$
jeżeli $|q| < 1$ , to $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1} = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik