Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na początek przedstawimy podstawowe tożsamości trygonometrycznetożsamość trygonometrycznatożsamości trygonometryczne i ich dowody.

o jedynce trygonometrycznej
Twierdzenie: o jedynce trygonometrycznej

Dla dowolnego kąta α zachodzi tożsamośćtożsamośćtożsamość zwana jedynką trygonometryczną: sin2α+cos2α=1.

Dla każdego kąta απ2+kπ, gdzie k, zachodzi tożsamość: tgα=sinαcosα.

Dowód

Przyjmijmy, że punkt P(0,0) o współrzędnych (x,y) leży na ramieniu końcowym kąta o mierze α. Niech r=x2+y2. Wówczas sinα=yr, cosα=xrtgα=yx.

R1HYoR3tnAcWE
  1. Korzystając z definicji sinusa i cosinusa dowolnego kąta α zapiszmy: sin2α+cos2α=yr2+xr2=x2+y2r2. Korzystając z tego, że r=x2+y2 otrzymujemy: x2+y2r2=r2r2=1, co kończy dowód.

  2. Korzystając z definicji sinusa i cosinusa dowolnego kąta α zapiszmy: sin x cos x = y r x r = y x = t g α . przy założeniu , że απ2+kπ, gdzie k.

Przykład 1

Obliczyć tgα, jeżeli cosα=-0,690°<α<180°.

Rozwiązanie:

Korzystamy z tożsamości: sin2α+cos2α=1.

Wówczas  sin2α+(-0,6)2=1.

Kąt α jest kątem II ćwiartki, zatem sinα>0.

Wobec tego: sinα=1(0,6)2=10,36=0,64=0,8.

tgα=sinαcosα=0,8-0,6=-43.

Przykład 2

Obliczyć sinαcosα, jeżeli wiadomo, że tgα=-34 oraz 270°<α<360°.

Rozwiązanie:

Skorzystajmy z tożsamości: sin2α+cos2α=1tgα=sinxcosα. Wówczas tgα=-34, czyli sinαcosα=-34, a zatem sinα=-34cosα.

Podstawiając do tożsamości: sin2α+cos2α=1 otrzymujemy -34cosα2+cos2α=1.

Ponieważ 270°<α<360°, więc cosα przyjmuje wartość dodatnią.

To oznacza, że cosα=11+-342=45.

Ponieważ 270°<α<360°, więc sinα przyjmuje wartość ujemną. Wobec tego sinα=-1-cos2α, czyli

sinα=-1-452=-35.

Przykład 3

Uprość wyrażenie: 2sin2α-1sinα-cosα.

Rozwiązanie:

2sin2α-1sinα-cosα=sin2α+sin2α-1sinα-cosα=

=sin2α-cos2αsinα-cosα=(sinα+cosα)(sinα-cosα)sinα-cosα=

=sinα+cosα, przy założeniu, że sinαcosα.

Przykład 4

Uprość wyrażenie: (asinα+bcosα)2+(acosα-bsinα)2.

Rozwiązanie:

(asinα+bcosα)2+(acosα-bsinα)2=

=a2sin2α+2ab·sinα·cosα+b2cos2α+

+a2cos2α-2ab·cosα·sinα+b2sin2α=

=a2sin2α+cos2α+b2cos2α+sin2α=a2+b2

Przykład 5

Wiedząc, że sinα+cosα=13 oblicz:

a) sinα·cosα

Ponieważ sinα+cosα=13, więc (sinα+cosα)2=19.
A zatem sin2α+cos2α+2sinα·cosα=19.
Wobec tego sinα·cosα=-49.

b) sinα-cosα

|sinα-cosα|=(sinα-cosα)2=
=sin2α+cos2α-2sinα·cosα=1-2-49=179
Zatem wyrażenie sinα-cosα może przyjmować dwie wartości: 179 lub -179.

c) tgα+1tgα

tgα+1tgα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinαcosα=1-49=-94

d) sin3α+cos3α

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=
=131--49=1327

e) sin4α+cos4α

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę kwadratów:
sin4α+cos4α=sin2α+cos2α2-2sin2αcos2α=
=1-2·-492=1-3281=4981.

Słownik

tożsamość
tożsamość

równanie, które jest spełnione dla dowolnej wartości zmiennej lub zmiennych, dla których równanie ma sens

tożsamość trygonometryczna
tożsamość trygonometryczna

zależność między funkcjami trygonometrycznymi, która jest spełniona dla dowolnej wartości zmiennej lub zmiennych, dla których zależność ma sens