Przeczytaj

O polu trójkąta inaczej

Przez pierwsze lata edukacji na pole trójkąta patrzyliśmy tylko przez pryzmat podstawy i wysokości opuszczonej na te podstawę. Wprowadzenie pojęcia funkcji trygonometrycznej pozwoliło „odkryć” wzór, w którym pole jest wyrażone przez długości dwóch boków trójkąta i sinus kąta leżącego między tymi bokami. Czas na „coś” nowego.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt, którego boki mają długości: $a = 10, b = 16, c = 14$ , a wysokość poprowadzona na bok $b$ ma długość $5 \sqrt{3}$ . Wtedy oczywiście $P_{△} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}$ . Przypuśćmy jednak, że mamy dane długości boków, a zamiast jednej z wysokości, znamy promień okręgu opisanego na tym trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na tym trójkącie, który jest równy $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ . Jak zatem policzyć pole? Popatrzmy na rysunek.

RpG7869NCtSap

Ilustracja przedstawia trójkąt o bokach: a, b, c, gdzie b jest podstawą. Z wierzchołka znajdującego się w punkcie wspólnym boków a i c opuszczona jest wysokość h prostopadła do podstawy b. Na rysunku zaznaczony jest również kąt gama, który jest wewnętrznym kątem trójkąta i wyznaczają go boki a i b.

Wiemy oczywiście, że $\sin γ = \frac{h}{a}$ , czyli $h = a \cdot \sin γ$ .
Ale z twierdzenia sinusów wynika, że $\frac{c}{\sin γ} = 2 R$ , stąd $\sin γ = \frac{c}{2 R} = \frac{14}{2 \cdot \frac{14 \sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Wysokość jest więc równa $h = 10 \cdot \sin γ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$ ,
a pole: $P_{△} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}$ .

Analizując podane niżej twierdzenia, dowiesz się, że pewne zależności są prawdziwe dla dowolnego trójkąta, a tym samym poznasz kolejne wzory pozwalające obliczać pole trójkąta.

Jak znajomość promienia okręgu opisanego na danym trójkącie może pomóc w obliczeniu jego pola?

pole trójkąta wpisanego w okrąg o danym promieniu, jako funkcja długości boków

Twierdzenie: pole trójkąta wpisanego w okrąg o danym promieniu, jako funkcja długości boków

Pole $P_{△}$ trójkąta o bokach długości $a, b, c$ , wpisanego w okrąg o promieniu $R$ , wyraża się wzorem $P_{△} = \frac{a b c}{4 R}$ .

Dowód

Wiemy, że $P_{△} = \frac{1}{2} a b \cdot \sin γ$ , gdzie $γ$ jest kątem leżącym między bokami $a$ i $b$ , naprzeciw boku $c$ . Ale z twierdzenia sinusów wynika, że $\sin γ = \frac{c}{2 R}$ , zatem $P_{△} = \frac{1}{2} a b \cdot \sin γ = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}$ .

Co należało udowodnić.

W praktyce szkolnej rzadko będziemy korzystali z tego wzoru w celu obliczenia pola trójkąta. Wiemy, że trzy boki jednoznacznie wyznaczają trójkąt, a tym samym jego pole. Tak więc nie ma potrzeby sięgać po promień okręgu opisanego na danym trójkącie, a samo pole można obliczyć korzystając chociażby ze wzoru Herona. Wzór ten częściej jest wykorzystywany w sytuacji, gdy znamy pole i boki trójkąta, a szukamy promienia okręgu opisanego. Popatrzmy na poniższy prosty przykład.

Przykład 2

Oblicz pole koła opisanego na trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość $10$ , a ramiona $13$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokość tego trójkąta poprowadzoną na podstawę: $h = \sqrt{13^{2} - {(\frac{1}{2} \cdot 10)}^{2}} = \sqrt{169 - 25} = 12$ . Zatem pole trójkąta jest równe $P_{△} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ . Korzystając ze wzoru $P_{△} = \frac{a b c}{4 R}$ , możemy zapisać, że $R = \frac{a b c}{4 P_{Δ}} = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{169}{24}$ . Zatem pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe $P = π \cdot {(\frac{169}{24})}^{2}$ .

pole trójkąta wpisanego w okrąg o danym promieniu, jako funkcja miar kątów

Twierdzenie: pole trójkąta wpisanego w okrąg o danym promieniu, jako funkcja miar kątów

W trójkącie kąty mają miary $α, β, γ$ , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $R$ . Pole trójkąta wyraża się wtedy wzorem $P_{△} = 2 R^{2} \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ$ .

Dowód

Wiemy już, że $P_{△} = \frac{a b c}{4 R}$ . Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać, że $a = 2 R \cdot \sin α$ , $b = 2 R \cdot \sin β$ oraz $c = 2 R \cdot \sin γ$ . Zatem $P_{△} = \frac{a b c}{4 R} = \frac{2 R \cdot \sin α \cdot 2 R \cdot \sin β \cdot 2 R \cdot \sin γ}{4 R}$ . Stąd teza.

Oczywiście miary kątów nie stanowią cechy przystawania trójkątów, a jedynie pozwalają badać podobieństwo figur. Jeśli znamy jednak promień okręgu opisanego na trójkącie o danych kątach, to „skalując w wyobraźni” nasz trójkąt zauważymy, że istnieje tylko jeden, którego kąty będą miały określoną miarę i który będzie wpisany w dany okrąg. Tym samym jego pole będzie możliwe do obliczenia. Popatrzmy na przykład.

Przykład 3

W okrąg o promieniu 12 wpisano trójkąt, którego dwa kąty mają miary odpowiednio równe $60 °$ oraz $75 °$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Ponieważ trzeci z kątów trójkąta ma miarę $45 °$ , więc możemy zapisać, że $P_{△} = 2 R^{2} \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ = 2 \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 75 °$ . Tym samym pole trójkąta zostało wyznaczone. Można skorzystać z wartści przybliżonej sinusa dla kąta o mierze $75 °$ lub odczytać w dostępnych źródłach (obliczyć, korzystając ze wzoru na sinus sumy argumentów), że $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ . Wtedy $P_{△} = 36 \cdot (3 + \sqrt{3})$ .

Słownik

okrąg opisany na trójkącie

okrąg, do którego należą trzy wierzchołki danego trójkąta jest okręgiem opisanym na tym trójkącie; mówimy wtedy, że trójkąt jest wpisany w okrąg

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

O polu trójkąta inaczej

Jak znajomość promienia okręgu opisanego na danym trójkącie może pomóc w obliczeniu jego pola?

Słownik