Przeczytaj
Pojęcie silni – przypomnienie
Niech będzie liczbą naturalną.
Przypomnijmy, że symbol (czytamy: silnia) to:
, gdy lub
, gdy
Możemy zapisać:
Symbol Newtona
Symbolem Newtona (współczynnikiem dwumianowym Newtona) nazywamy liczbę , gdzie , i .
Zapis czytamy: po lub nad .
Symbol Newtona wyraża się wzorem:
Symbol NewtonaSymbol Newtona można też wyrazić wzorem rekurencyjnym:
Możemy zapisać:
Możemy zapisać:
Symbol Newtona można też obliczyć z „uproszczonego” wzoru:
, gdy
Własności symbolu Newtona
Poznamy teraz kilka podstawowych twierdzeń związanych z symbolem Newtona.
Dla każdej liczby naturalnej i każdej liczby naturalnej takiej, że spełniona jest równość:
Zauważmy, że . Zatem:
Korzystając z powyższego twierdzenia możemy zapisać:
, gdy
Dla każdej liczby naturalnej i każdej liczby naturalnej takiej, że spełniona jest równość:
Oznaczmy przez – lewą stronę dowodzonej równości, przez – prawą stronę równości.
Korzystamy z definicji symbolu Newtona.
Przekształcamy odpowiednio zapisaną równość.
Korzystamy z tego, że i skracamy przez .
Korzystając z powyższego twierdzenia, obliczymy oraz .
Dla każdej liczby naturalnej i każdej liczby naturalnej takiej, że zachodzi równość:
Oznaczmy przez – lewą stronę dowodzonej równości, przez – prawą stronę równości.
Rozszerzamy pierwszy składnik przez , a drugi przez , aby w konsekwencji uzyskać wspólny mianownik ułamków.
Wykorzystujemy własności silni.
Dodajemy ułamki.
Wyłączamy przed nawias i korzystamy z własności silni.
Korzystając z powyższego twierdzenia, można zapisać:
Związek symbolu Newtona z trójkątem Pascala
Zauważmy, że kolejnym wyrazom trójkąta Pascala można przyporządkować odpowiednie symbole Newtona. W trójkącie Pascala każdy wyraz (poza skrajnym) jest sumą dwu wyrazów stojących bezpośrednio nad nim.
Schemat ten odpowiada zależności
zapisanej we wzorze rekurencyjnym.
Wiemy już, że suma wyrazów w –tym wierszu trójkąta Pascala jest równa .
Wynika stąd ważna własność symbolu Newtona:
Rozwiążemy równanie
Przekształcając lewą stronę równania, skorzystamy ze wzoru na sumę kolejnych symboli Newtona.
Liczby i zapisujemy jako potęgi liczby .
Porównujemy wykładniki potęg o tych samych podstawach.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Słownik
to liczba , gdzie , i