Przeczytaj
Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę tangensów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.
Dla dowolnych , zachodzą następujące wzory:
Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie tangensów i różnicy tangensów.
Dla dowolnych , spełniających warunki: i , zachodzą następujące wzory:
Dowód
Skorzystamy z tożsamości: , gdzie :
.
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:
co kończy dowód.
Skorzystamy z tożsamości: , gdzie :
.
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:
co kończy dowód.
Obliczymy wartość wyrażenia: .
Rozwiązanie
W wyrażeniu podstawmy w miejsce liczby .
Następnie skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzoru na sumę tangensów.
Po redukcji równych wyrażeń otrzymujemy wynik.
Uzasadnimy, że wyrażenie nie przyjmuje wartości dla żadnego argumentu .
Rozwiązanie
W wyrażeniu:
zastosujemy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów.
.
Z postaci wyrażenia wynika, że licznik jest zawsze różny od zera, a zatem cały ułamek jest różny od .
Obliczymy wartość wyrażenia , jeżeli wiadomo, że i .
Rozwiązanie
Zapiszmy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów.
.
Korzystając z warunku otrzymujemy wyrażenie:
.
Z faktu, że otrzymujemy równanie:
.
Udowodnimy, że .
Rozwiązanie
Korzystając z faktu, że funkcja tangens jest rosnąca w przedziale , możemy próbować szacować w następujący sposób:
.
Niestety, , a zatem ten sposób nie daje poprawnego dowodu zadania.
Musimy podejść inaczej do tego problemu.
Skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzoru na sumę tangensów:
.
Korzystając z faktu, że funkcja cosinus w przedziale jest malejąca, zauważmy, że:
oraz
.
Zatem możemy oszacować z góry wyrażenie :
,
co kończy dowód.
Słownik
Dla dowolnych , spełniających warunki: i , zachodzą następujące wzory:
,
.