Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę tangensów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów
Twierdzenie: wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Dla dowolnych α, β zachodzą następujące wzory:

sinα+β=sinαcosβ+sinβcosα
sinα-β=sinαcosβ-sinβcosα

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie tangensów i różnicy tangensów.

wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów
Twierdzenie: wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów

Dla dowolnych α, β spełniających warunki: cosα0cosβ0, zachodzą następujące wzory:

tgα+tgβ=sinα+βcosαcosβ
tgα-tgβ=sinα-βcosαcosβ

Dowód

  1. Skorzystamy z tożsamości: tgα=sinαcosα, gdzie cosα0:

tgα+tgβ=sinαcosα+sinβcosβ.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

sinαcosα+sinβcosβ=sinαcosβ+sinβcosαcosαcosβ=sinα+βcosαcosβ

co kończy dowód.

  1. Skorzystamy z tożsamości: tgα=sinαcosα, gdzie cosα0:

tgα-tgβ=sinαcosα-sinβcosβ.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

sinαcosα-sinβcosβ=sinαcosβ-sinβcosαcosαcosβ=sinα-βcosαcosβ

co kończy dowód.

Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia: 1+tg10°·cos10°2sin55°.

Rozwiązanie

W wyrażeniu podstawmy tg45° w miejsce liczby 1.

1+tg10°·cos10°2sin55°=tg45°+tg10°·cos10°2sin55°

Następnie skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensówwzoru na sumę tangensów.

=sin45°+10°cos45°cos10°·cos10°2sin55°=

Po redukcji równych wyrażeń otrzymujemy wynik.

=sin55°cos45°2sin55°=sin55°sin55°=1

Przykład 2

Uzasadnimy, że wyrażenie tgπ3+α4+tgπ3-α4 nie przyjmuje wartości 0 dla żadnego argumentu α.

Rozwiązanie

W wyrażeniu:

tgπ3+α4+tgπ3-α4=

zastosujemy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensówwzór na sumę tangensów.

=sin2π3cosπ3+α4cosπ3α4=32cosπ3+α4cosπ3α4.

Z postaci wyrażenia wynika, że licznik jest zawsze różny od zera, a zatem cały ułamek jest różny od 0.

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia cosxcosy, jeżeli wiadomo, że tgx+tgy=5x+y=150°.

Rozwiązanie

Zapiszmy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensówwzór na sumę tangensów.

tgx+tgy=sinx+ycosxcosy.

Korzystając z warunku x+y=150° otrzymujemy wyrażenie:

tgx+tgy=sin150°cosxcosy=12cosxcosy.

Z faktu, że tgx+tgy=5 otrzymujemy równanie:

12cosxcosy=5

cosxcosy=110.

Przykład 4

Udowodnimy, że tg20°+tg40°<2.

Rozwiązanie

Korzystając z faktu, że funkcja tangens jest rosnąca w przedziale 0,π2, możemy próbować szacować w następujący sposób:

tg20°+tg40°<tg30°+tg45°<33+1.

Niestety, 2<33+1, a zatem ten sposób nie daje poprawnego dowodu zadania.

Musimy podejść inaczej do tego problemu.

Skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensówwzoru na sumę tangensów:

tg20°+tg40°=sin20°+40°cos20°cos40°=sin60°cos20°cos40°=32cos20°cos40°.

Korzystając z faktu, że funkcja cosinus w przedziale 0,π2 jest malejąca, zauważmy, że:

cos20°>cos30°=32

oraz

cos40°>cos45°=22.

Zatem możemy oszacować z góry wyrażenie 32cos20°cos40°:

32cos20°cos40°<3232·22=2,

co kończy dowód.

Słownik

wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów
wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów

Dla dowolnych α, β spełniających warunki: cosα0cosβ0, zachodzą następujące wzory:

  1. tgα+tgβ=sinα+βcosαcosβ,

  1. tgα-tgβ=sinα-βcosαcosβ.