W graniastosłupie mamy charakterystyczne odcinki: krawędzie podstawy, krawędzie boczne, przekątne podstawy, przekątne ścian bocznych, przekątne graniastosłupa, wysokość graniastosłupa.
W graniastosłupie prostym każda krawędź boczna jest wysokością graniastosłupa.
Przykład 1
Nazwiemy odcinki w graniastosłupie prostym na rysunku:
R1boi4sp6mIVu
– przekątna graniastosłupa – przekątna podstawy – krawędź podstawy – krawędź boczna, wysokość graniastosłupa – przekątna ściany bocznej
Pomiędzy odcinkami, odcinkami i płaszczyznami oraz pomiędzy płaszczyznami w graniastosłupie możemy wyznaczyć kąty.
Przykład 2
Nazwiemy kąty w graniastosłupie prostym na rysunku:
R2WyiEBQMSFuz
– kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawykąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawykąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy – kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej, a krawędzią boczną – kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych – kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną
Z charakterystycznych odcinków i kątów w graniastosłupie można zbudować trójkąty prostokątne.
Przykład 3
W graniastosłupie prostym czworokątnym na rysunku wskażemy kilka trójkątów prostokątnych
Trójkąt prostokątny, którego bokami są krawędź boczna, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa, a kątami ostrymi kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa, a wysokością oraz kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy
RBbZAcOwSurWJ
Trójkąt prostokątny, którego bokami są krawędź podstawy, krawędź boczna i przekątna ściany bocznej, a kątami ostrymi kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej, a krawędzią boczną i kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy
R19caFnhnaXo1
Mając trójkąt prostokątny możemy obliczać długości jego boków i miary kątów korzystając z funkcji trygonometrycznych.
Przykład 4
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny o podstawach długości i oraz dłuższym ramieniu . Obliczymy miarę kąta nachylenia przekątnej największej ściany bocznej do podstawy, wiedząc, że dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem .
Zróbmy rysunek pomocniczy. Zaznaczymy na nim trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów jest dany kąt.
RbL6JEHeCGLxm
Bokami tego trójkąta są: krawędź boczna, dłuższa przekątna podstawy i dłuższa przekątna graniastosłupa. Aby móc korzystać z tego trójkąta musimy znać długość co najmniej jednego z jego boków.
Obliczymy długość dłuższej przekątnej podstawy. Aby to zrobić, potrzebujemy jeszcze wysokości trapezu. Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa.
R1c8jDOpdosHP
Z rysunku powyżej wynika, że , a stąd . Teraz już możemy obliczyć długość dłuższej przekątnej podstawy
R3NO0ZjmVxEoY
Mamy więc , a stąd . Możemy teraz obliczyć długość wysokości graniastosłupa korzystając z trójkąta prostokątnego zaznaczonego na pierwszym rysunku. Mamy więc . Odczytując wartości funkcji trygonometrycznych z karty wzorów mamy . A to daje .
Zaznaczmy teraz w graniastosłupie szukany kąt
R11jSGxZtg8Kj
Obliczymy miarę tego kąta korzystając z funkcji trygonometrycznych: . Czyli .
Przypomnijmy, że do obliczeń długości boków i miar kątów w trójkącie możemy skorzystać również z twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
Obliczymy długość przekątnej najmniejszej ściany bocznej i kąt nachylenia tej przekątnej do podstawy w graniastosłupie prostym o wysokości , którego podstawą jest trójkąt jak na rysunku poniżej.
R1c4AluU18IuP
Miara trzeciego kąta wynosi . Krawędź podstawy naprzeciwko najmniejszego kąta będzie krawędzią najmniejszej ściany bocznej. Oznaczmy krawędź naprzeciwko kąta przez . Z twierdzenia sinusów mamy: . Czyli . Przekształcając tę równość dalej otrzymujemy . Narysujmy ten graniastosłup i zaznaczmy na nim dane i szukane odcinki oraz kąty.
RVAhchnpNwDgJ
Obliczymy najpierw długość przekątnej z twierdzenia Pitagorasa: . Stąd . Obliczymy teraz miarę kąta nachylenia przekątnej do podstawy korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych. Mamy , a zatem .
Słownik
kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy
kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy
kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa, a jej rzutem prostokątnym na podstawę
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Niech , , będą długościami boków w trójkącie, a odpowiednio , , miarami kątów naprzeciw tych boków. Wtedy
, gdzie jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie (twierdzenie sinusów)