Przeczytaj

Rozwiązywanie równań: $\cos x = 1, \cos x = - 1$ .

Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązywanie równań postaci $\cos x = a$ od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji $y = \cos x$ jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ , zatem dla liczb $a \notin ⟨ - 1, 1 ⟩$ równanie $\cos x = a$ nie ma rozwiązańrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na początek rozwiążemy równanie $\cos x = 1$ .

RdMutiiDJlxbB

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do trzech pi oraz pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowana jest kosinusoida oraz pozioma prosta o równaniu y równa się jeden.

Zauważmy, że w przedziale $⟨ 0, 2 π)$ funkcja $y = \cos x$ przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu $x = 0$ . Funkcja $y = \cos x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π$ , zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: $x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Postępując analogicznie rozwiązujemy równanie $\cos x = - 1$ .

RKnJEppys4nhM

Rozwiązaniem równania $\cos x = - 1$ jest każda liczba postaci $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązywanie równań: $\cos x = a$ .

Aby rozwiązać równanie $\cos x = a$ , wykorzystamy wykresy funkcji $y = \cos x$ i $y = a$ . Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta $y = a$ przecina wykres w dwóch typach punktów: jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w równych odległościach równych $2 π$ . Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.

R5yc6bX74MVai

Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.

Wykorzystajmy poniższy aplet.

RN6kGs5z5cL4y

Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu $x = 0$ . Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów. Zatem ich współrzędne spełniają zależność: $x_{2} = - x_{1}$ .

Aby rozwiązać równanie $\cos x = a$ , wykorzystamy wykresy funkcji $y = \cos x$ i $y = a$ , przy czym $a$ należy do określonego wcześniej przedziału $⟨ - 1, 1 ⟩$ . Rysując w układzie współrzędnych wykresy $y = \cos x$ oraz na przykład $y = a$ , otrzymamy kosinusoidę oraz poziomą prostą, które przecinają się w określonych punktach. Na przykład dla $a = 1$ będą to wszystkie maksima funkcji cosinus. Wiemy, że przedział dla $a$ jest ściśle określony, możemy więc obrać wszystkie poziome proste leżące poniżej naszej prostej aż do prostej zadanej równaniem $y = - 1$ włącznie. Funkcja cosinus jest okresowa, więc punkty przecięcia z poziomą prostą będą pojawiać się na wykresie cyklicznie i regularnie.

Weźmy na przykład prostą $y = 0$ i cztery kolejne punkty przecięcia prostej z wykresem funkcji $y = \cos x$ . Wybierzmy punkty o współrzędnych $(- \frac{3 π}{2}, 0)$ , $(- \frac{π}{2}, 0)$ , $(\frac{π}{2}, 0)$ oraz $(\frac{3 π}{2}, 0)$ . Możemy zauważyć tu pewien porządek w przypadku pierwszych współrzędnych obranych przez nas punktów. Z uwagi na budowę kosinusoidy oraz na fakt, że okres tej funkcji wynosi $2 π$ , mamy tu dwie grupy rozwiązań, mianowicie wszystkie punkty oddalone na przykład od punktu $(- \frac{3 π}{2}, 0)$ o całkowitą wielokrotność $2 π$ wraz z tym punktem, a także wszystkie punkty oddalone od punktu $(- \frac{π}{2}, 0)$ o całkowitą wielokrotność $2 π$ wraz z tym punktem. Jedną grupę rozwiązań mamy tylko dla prostych przechodzących przez ekstrema funkcji cosinus, czyli dla $y = - 1$ oraz $y = 1$ .

Weźmy teraz dwa punkty przecięcia wykresu funkcji $y = \cos x$ z wykresem funkcji $y = a$ , gdzie $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ położone symetrycznie względem osi $Y$ i należące do dwóch różnych grup rozwiązań równania $\cos x = a$ . Punkty te mają współrzędne $(x_{1}, a)$ oraz $(x_{2}, a)$ . Zauważmy, że funkcja cosinus jest symetryczna względem osi $Y$ . Zmieniając wartość parametru $a$ , będziemy zmieniać również położenie tych punktów. Jednak z uwagi na symetrię względem osi $Y$ , przy określonych wyżej warunkach, zawsze zachodzić będzie, że $x_{1} = - x_{2}$ .

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego.

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego.

Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania $\cos x = a$ . Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_{0}$ takie, że $\cos x_{0} = a$ . Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: $x = x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Znajdujemy drugie rozwiązanie $- x_{0}$ . Zapisujemy drugą serię rozwiązań: $x = - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwaga: W przypadku równań $\cos x = 1, \cos x = - 1$ jest tylko jedna seria rozwiązań.

Teraz pokażemy kilka zastosowań podanego algorytmu.

Przykład 1

Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Najpierw znajdziemy rozwiązanie równania $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ w przedziale $<0, π>$ .

Ponieważ $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , korzystając ze wzoru redukcyjnego $\cos (π - x) = - \cos x$ otrzymujemy $\cos (π - \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Zatem poszukiwanym $x$ jest liczba $\frac{5 π}{6}$ .

Z parzystości funkcji cosinus otrzymujemy, że $\cos (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wobec tego rozwiązaniami równania $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ są: $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ lub $x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ w przedziale $⟨ - 2 π, 5 π ⟩$ .

Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale $⟨ - 2 π, 5 π ⟩$ . Są to: $- \frac{7 π}{6}, - \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{19 π}{6}, \frac{29 π}{6}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $2 \cos (3 x - 1) = - \sqrt{2}$ w przedziale $⟨ - π, π ⟩$ .

Przekształcamy równanie do postaci: $\cos (3 x - 1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Podstawmy $z = 3 x - 1$ , czyli otrzymujemy równanie $\cos z = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Znajdujemy jedno rozwiązanie: $z_{0} = \frac{3 π}{4}$ . Zatem rozwiązaniami równania $\cos z = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ są: $z = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ lub $z = - \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ponieważ $z = 3 x - 1$ , wówczas rozwiązaniami równania $2 \cos (3 x - 1) = - \sqrt{2}$ są: $x = \frac{1}{3} + \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ lub $x = \frac{1}{3} - \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału $⟨ - π, π ⟩$ : $\frac{1}{3} - \frac{13 π}{12}, \frac{1}{3} - \frac{5 π}{12}, \frac{1}{3} + \frac{π}{4}, \frac{1}{3} - \frac{π}{4}, \frac{1}{3} - \frac{11 π}{12}, \frac{1}{3} + \frac{5 π}{12}$ .

A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie $\cos (3 x + 7) = a^{2} + 3 a + 1$ ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Ponieważ zbiorem wartości funkcji $y = \cos (3 x + 7)$ jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ , zatem muszą być spełnione dwie nierówności: $- 1 \leq a^{2} + 3 a + 1$ i $a^{2} + 3 a + 1 \leq 1$ .

Wówczas $0 \leq a^{2} + 3 a + 2$ i $a^{2} + 3 a \leq 0$ . Wobec tego otrzymujemy $0 \leq (a + 1) (a + 2)$ i $a (a + 3) \leq 0$ . Stąd otrzymujemy odpowiedź: $a \in ⟨ - 3, - 2 ⟩$ lub $a \in ⟨ - 1, 0 ⟩$ .

Słownik

rozwiązanie równania z jedną niewiadomą

liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczby po prawej i lewej stronie równania.

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór liczb spełniających równanie.

Wprowadzenie

Animacja

Słownik