Obliczymy miarę kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do średnicy podstawy, jeżeli wysokość walca jest dwukrotnie dłuższa od promienia podstawy.

Rozwiązanie:

Jeżeli wysokość jest dwukrotnie dłuższa od promienia podstawy, to znaczy, że średnica ma długość równą długości wysokości. A zatem trójkąt prostokątny, którego bokami są średnica, wysokość i przekątna jest równoramienny. Szukany kąt ma więc miarę $45°$.

Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a średnicą podstawy walca ma miarę $68°$. Obliczymy objętość i pole powierzchni tego walca, jeżeli wysokość tego walca wynosi $10 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RNz4oXHVTDRDZ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach 10 na dwa r, gdzie wysokość ma długość dziesięć natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem sześćdziesięciu ośmiu stopni do płaszczyzny podstawy.

Mamy, że $\mathrm{tg}68°=\frac{10}{2r}$

Czyli $\frac{5}{r}\approx 2,4751$, a stąd $\mathrm{r}\approx 2,02$.

Mamy więc $\mathrm{V}=\pi ·{\left(2,02\right)}^2·10\approx 40,8\pi$ oraz $P_c=2\pi ·2,02·\left(2,02+10\right)\approx 48,56\pi$.

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $17$, a promień $4$. Obliczymy tangens kąta pomiędzy przekątną tego przekroju a tworzącą.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1Ok4lOsdH8bh

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na dwa r, gdzie promień podstawy r ma długość cztery. Zaznaczono także przekątną przekroju o długości siedemnaście będącą pod kątem alfa ośmiu stopni do wysokości walca.

Obliczymy $h$ z z twierdzenia Pitagorasa: $8^2+h^2={17}^2$, a stąd $h=15$. A zatem $\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{15}$.

Kąt pomiędzy przekątnymi pewnego przekrojuprzekrój bryłyprzekroju walca, prostopadłego do podstawy i odległego od środka o $5$, ma miarę $37°$. Obliczymy pole tego przekroju wiedząc, że promień walca ma długość $13$, a wysokość walca jest krótsza od boku przekroju zawartego w podstawie.

Rozpatrzmy teraz przekrój walca prostopadły do podstawy, różny od przekroju osiowego. Przekrój ten również ma kształt prostokąta.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1aSeD3hLETkJ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem. W prostokącie o wymiarach h na dwa x, zaznaczono dwie przekątne przecinające się w środku prostokąta. Przecięcia te utworzyły trójkąt równoramienny o podstawie h oraz długości ramion y. Kąt pomiędzy ramionami tego trójkąta wynosi trzydzieści siedem stopni. Ze środka górnej podstawy walca poprowadzony dwa odcinki, pierwszy prostopadły odcinek o długości pięć, dzielący dłuższy bok przekroju zawartego w górnej podstawie na pół. Drugim odcinkiem jest promień podstawy walca o długości trzynaście, łączący środek okręgu z końcem dłużej ściany bocznej prostokąta zawartej w górnej podstawie bryły. Powstał prostokątny zawarty w podstawie walca, o długości przyprostokątnych pięć oraz x, oraz przeciwprostokątnej o długości trzynaście .

Obliczymy długość boku przekroju zawartego w podstawie walca:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $5^2+x^2={13}^2$. A zatem $x=12$.

Stąd bok przekroju zawarty w podstawie ma długość $24$.

Obliczymy długość przekątnych tego przekroju z twierdzenia cosinusów:

$y^2+y^2-2y^2\cos 143°={24}^2$

A stąd $3,5972{\mathrm{y}}^2=576$, a zatem $y\approx 12,65$. Cała przekątna ma więc długość około $25,3$.

Pole przekroju możemy obliczyć ze wzoru $P=\frac{1}{2}{p}^2\sin \alpha$, gdzie $p$ jest długością przekątnej, a $\alpha$ miarą kąta pomiędzy przekątnymi. Mamy więc $P\approx \frac{1}{2}·{\left(25,3\right)}^2·0,6018\approx 192,6$.

Dany jest walec o promieniu $3$ i wysokości $4$. W walcu tym poprowadzono przekrój osiowy. Obliczymy miarę kąta pomiędzy odcinkami łączącymi wierzchołki dłuższego boku przekroju ze środkiem drugiej podstawy. Odpowiemy na pytanie, czym ten kąt jest dla stożka powstałego przez połączenie punktów na brzegu podstawy ze środkiem drugiej podstawy.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R13MWhrOoZGuf

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na dwa r, gdzie wysokość ma długość cztery oraz promień podstawy r ma długość trzy, z dwóch górnych wierzchołków poprowadzono odcinki upuszczone na środek dolnej podstawy prostokąta. Odcinki te mają długość x i są ramionami kąta alfa. Wewnątrz prostokąta powstały dwa trójkąty prostokątne z przyprostokątnymi o długości trzy i cztery oraz przeciwprostokątnej o długości x.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że odcinek $x$ ma długość $5$. Obliczymy miarę kąta $\alpha$ z twierdzenia cosinusów:

$6^2=5^2+5^2-2·5·5·\cos \alpha$

A zatem $\cos \alpha =\frac{14}{50}=\frac{7}{25}=0,28$. Stąd $\alpha \approx 74°$.

Dla stożka wpisanego w walec kąt ten jest kątem rozwarcia stożka.

figura geometryczna będąca częścią wspólną bryły i płaszczyzny, która ją przecina

przekrój bryły obrotowej zawierający oś obrotu