Przeczytaj

Suma i różnica ciągów zbieżnych

Twierdzenie: Suma i różnica ciągów zbieżnych

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

to suma oraz różnica tych ciągów jest również ciągiem zbieżnym oraz

lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b

Przykład 1

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n + 1}{n}

Mamy

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n} = lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n}{n} + \frac{1}{n}) = lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})

Ponieważ ciągi $a_{n} = 2$ oraz $b_{n} = \frac{1}{n}$ są zbieżne a ich granice są równe odpowiednio $2$ i $0$ więc

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n} = 2 + 0 = 2 .

Przykład 2

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{3} - \sqrt[n]{5}

Ponieważ granica ciągu o wyrazie ogólnym $a_{n} = \sqrt[n]{a}$ dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ jest równa $1$ więc

lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{3} - \sqrt[n]{5}) = 1 - 1 = 0 .

Iloczyn ciągów zbieżnych

Twierdzenie: Iloczyn ciągów zbieżnych

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

to iloczyn tych ciągów jest również ciągiem zbieżnym oraz

lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b

Przykład 3

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{n} (3 - \frac{2}{n}) .

Ponieważ $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ oraz $lim_{n \to + \infty} (3 - \frac{2}{n}) = 3 - 0 = 3$ więc z powyższego twierdzenia otrzymujemy

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} (3 - \frac{2}{n}) = 1 \cdot 3 = 3 .

Iloczyn ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera

Własność: Iloczyn ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera

Jeżeli $lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ natomiast ciąg $(b_{n})$ jest ograniczony, to

lim_{n \to + \infty} a_{n} \cdot b_{n} = 0 .

Przykład 4

Obliczymy granicę ciągu

a_{n} = \frac{sin (2 n + 1)}{n} .

Ponieważ ciąg $b_{n} = sin (2 n + 1)$ jest ograniczony (wynika to z faktu, że zbiór wartości funkcji sinus jest ograniczony) oraz granica ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}$ jest równa $0$ więc z powyższej własności mamy

lim_{n \to + \infty} \frac{sin (2 n + 1)}{n} = lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot sin (2 n + 1) = 0

Iloczyn ciągu przez liczbę

Własność: Iloczyn ciągu przez liczbę

Jeśli $lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $c \in ℝ$ , to

lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot lim_{n \to + \infty} a_{n} = c \cdot a .

Przykład 5

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = 7 \sqrt[n]{n}

Ponieważ $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ , więc z powyższej własności mamy

lim_{n \to + \infty} 7 \sqrt[n]{n} = 7 \cdot lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 7 \cdot 1 = 7 .

Iloraz ciągów zbieżnych

Twierdzenie: Iloraz ciągów zbieżnych

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne, przy czym $b_{n} \neq 0$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \neq 0,

to iloraz tych ciągów jest również ciągiem zbieżnym oraz

lim_{n \to + \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}

Przykład 6

Obliczymy granicę ciągugranica ciągugranicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} + 2}

W celu obliczenia granicy ciągu będącego ilorazem dwóch wielomianów, wyciągamy w liczniku i mianowniku najwyższą potęgę $n$ przed nawias.

\frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} + 2} = \frac{n^{2} (2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (3 + \frac{2}{n^{2}})} = \frac{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{3 + \frac{2}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 2 + 0 + 0 = 2

oraz

lim_{n \to + \infty} (3 + \frac{2}{n^{2}}) = 3 + 0 = 3

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} + 2} = \frac{2}{3} .

Przykład 7

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} .

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyciągamy najwyższą potęgę licznika i mianownika przed nawias.

\frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} = \frac{n (2 + \frac{5}{n})}{n^{2} (1 + \frac{1}{n^{2}})} = \frac{2 + \frac{5}{n}}{n (1 + \frac{1}{n^{2}})} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} \frac{2 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2}{1} = 2

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} = lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} \cdot \frac{2 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}) = 0 \cdot 2 = 0 .

Słowniczek

granica ciągu

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi $| a_{n} - g | < ε$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Suma i różnica ciągów zbieżnych

Iloczyn ciągów zbieżnych

Iloraz ciągów zbieżnych

Słowniczek