Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Próba Bernoulliego

Wśród doświadczeń losowych wieloetapowych ważne miejsce zajmują doświadczenia, w których możliwe są tylko dwa wyniki. Nazywamy je wtedy próbą Bernoulliego (w skrócie próbą). Jeden z wyników próby nazywamy sukcesem, a drugi porażką.

Przykłady prób:

  • rzut monetą – możliwe są dwa wyniki: orzeł i reszka,

  • kupno losu na loterii – możliwe są dwa wyniki: los wygrany i los przegrany.

Powtarzania próby nazywamy niezależnymi, gdy pojawienie się wyniku w jednej z prób nie zmienia prawdopodobieństwa pojawienia się wyniku w następnych próbach.

Przykładem jest rzut monetą. Sukcesem nazwiemy wypadnięcie orła, a porażką wypadnięcie reszki. Wypadnięcie orła za pierwszym razem nie wpłynie na prawdopodobieństwo wypadnięcia orła za drugim, trzecim, ..., n–tym razem. Rzuty monetą (czyli powtórzenia próby) są niezależne.

Przykładem zależnych powtórzeń próby jest losowanie kul z urny bez zwracania.

Schemat Bernoulliego

Schematem n prób Bernoulliego (n – liczba naturalna dodatnia) nazywamy ciąg złożony z n niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego w tych samych warunkach.

W schemacie Bernoulliego ciąg doświadczeń losowych spełnia więc następujące warunki:

  • doświadczenia są niezależne,

  • każde z doświadczeń może skończyć się tylko na dwa sposoby – sukcesem lub porażką,

  • prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym doświadczeniu takie samo.

Przykłady schematów Bernoulliego:

  • n – krotny rzut kostką,

  • 100 – krotne strzelanie do celu,

  • 500 – krotny rzut monetą.

Wzór Bernoulliego

Liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego oznaczamy Sn. Zdarzenie losowe polegające na otrzymaniu w n próbach Bernoulliego dokładnie k sukcesów k0, 1, 2, ..., n zapisujemy:

Sn=k

a prawdopodobieństwo tego zdarzenia:

PSn=k

Wzór, który pozwala na obliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia k sukcesów w danej próbie (bez względu na ilość jej powtórzeń), sformułował na początku osiemnastego wieku matematyk szwajcarski Jakub Bernoulli.

Wzór Bernoulliego
Twierdzenie: Wzór Bernoulliego

Prawdopodobieństwo, że w n – próbach Bernoulliego sukces wypadnie k razy wyraża się wzorem:

PSn=k=nk·pk·qn-k

gdzie:
p – prawdopodobieństwo sukcesu,
q=1-p – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie,
0<p<1k0, 1, 2, 3, ...., n.

Przykład 1

Rzucamy pięć razy kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba oczek równa 1 wypadnie dwa razy.

Sukcesem w takim rzucie jest wypadnięcie liczby oczek równej 1. Prawdopodobieństwo sukcesu to p=16.

Porażką jest wypadnięcie liczby oczek innej niż 1. Prawdopodobieństwo porażki to q=56.

Doświadczenie polega na wykonaniu 5 prób, czyli n=5. Chcemy, aby liczba oczek równa 1 wypadła dwa razy, zatem k=2.

Korzystamy ze wzoru Bernoulliego.

PS5=2=52·162·565-2

PS5=2=5!2!·3!·136·125216

PS5=2=6253888

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że liczba oczek równa 1 wypadnie dwa razy jest równe 6253888.

Przykład 2

Rzucono osiem razy monetą.
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A – wyrzucono co najmniej jednego orła.

Skorzystamy ze wzoru Bernoulliego, ale obliczymy najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego – nie wyrzucono ani jednego orła.

PA'=80·120·128

Zatem

PA=1-128=1-1256=255256

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednego orła jest równe 255256.

Przykład 3

Władysław gra z równorzędnym przeciwnikiem w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne: wygranie przez Władysława dwóch partii z czterech czy pięciu partii z ośmiu?

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego.

W pierwszym przypadku: n=4, k=2, p=q=12.

PS4=2=42·122·122=6·116=38

W drugim przypadku: n=8, k=5, p=q=12.

PS8=5=85·125·123=56·1256=732

Ponieważ

38=1232>732

Więc bardziej prawdopodobne jest, że Władysław wygra dwie partie z czterech, niż pięć z ośmiu.

Przykład 4

W urnie znajduje się 5 kul białych i 2 czarne. Z urny losujemy 5 razy po dwie kule, które za każdym razem wkładamy ponownie do urny. Obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy otrzymamy parę kul różnego koloru.

Zauważmy, że za każdym razem kule zwracamy z powrotem do urny, zatem kolejne doświadczenia są od siebie niezależne.

Każde z doświadczeń może skończyć się sukcesem – wylosowanie kul różnego koloru lub porażką – wylosowanie dwóch kul tego samego koloru (białych lub czarnych).

Prawdopodobieństwo sukcesu za każdym razem jest takie samo (liczba kul w urnie nie zmienia się w kolejnych losowaniach).

Możemy więc w obliczeniach stosować wzór Bernoulliegowzór Bernoulliegowzór Bernoulliego, gdzie n=5, k=3.

Obliczmy prawdopodobieństwo sukcesu.

p=51·2172=1021

Zatem prawdopodobieństwo porażki jest równe: q=1-1021=1121.

PS5=3=53·10213·11212

PS5=3=12121·102140,3

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że 3 razy otrzymamy parę kul różnego koloru wynosi w przybliżeniu 0,3.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Utożsamiając prawdopodobieństwo z częstością, zakładamy intuicyjnie, że na przykład w serii 100 rzutów monetą najbardziej prawdopodobne jest uzyskanie 50 orłów. W praktyce również pojawia się wiele problemów, których rozwiązanie wymaga oszacowania przewidywanych strat lub zysków. Aby nie wysnuwać wniosków „na oko”, możemy skorzystać w niektórych sytuacjach z odpowiedniego twierdzenia.

Zakładamy, że w schemacie Bernoulliegon próbach prawdopodobieństwo sukcesu p1p0.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego
Twierdzenie: Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego
  • Jeśli n+1p nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego jest największą liczbą całkowitą k0 taką, że k0<n+1p.

  • Jeśli n+1p jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne są wartości n+1p-1 oraz n+1p i prawdopodobieństwa ich są równe.

Przykład 5

Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,8. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafień w serii składającej się z 20 strzałów?

Liczba prób: n=20.

Prawdopodobieństwo trafienia: p=0,8.

Obliczamy n+1p.

20+1·0,8=16,8

Otrzymany wynik nie jest liczbą całkowitą, zatem najbardziej prawdopodobną liczbą trafień jest największa liczba całkowita, mniejsza od 16,8, czyli 16.

Odpowiedź:

Najbardziej prawdopodobna liczba trafień w serii składającej się z 20 strzałów jest równa 16.

Przykład 6

Waldemar trafia piłką do bramki z prawdopodobieństwem 25. Obliczymy, ile powinien wykonać strzałów, aby najbardziej prawdopodobna liczba uzyskanych bramek była równa 13.

Oznaczmy przez n szukaną liczbę strzałów.

Na podstawie twierdzenia o najbardziej prawdopodobnej liczbie sukcesów w schemacie Bernoulliego stwierdzamy, że

n+1·25-1<13<n+1·25

Zapisujemy nierówność podwójną w postaci koniunkcji nierówności.

n+1·25-1<1313<n+1·25

Przekształcamy te nierówności, mnożąc obie strony każdej z nich przez 5 i wykonując wskazane działania.

n+1·2-5<6565<n+1·2

2n-3<6565<2n+2

2n<6863<2n

n<3431,5<n

Stąd

31,5<n<34.

Ponieważ n jest liczbą naturalną, zatem n=32 lub n=33.

Odpowiedź:

Aby najbardziej prawdopodobna liczba uzyskanych bramek była równa 13, Waldemar musi strzelić do bramki 32 lub 33 razy.

Słownik

wzór Bernoulliego
wzór Bernoulliego

prawdopodobieństwo, że w n – próbach Bernoulliego sukces wypadnie k razy wyraża się wzorem:

PSn=k=nk·pk·qn-k

gdzie:
p – prawdopodobieństwo sukcesu,
q=1-p – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie,
0<p<1k0, 1, 2, 3, ...., n