Przeczytaj
Kąt dopisany do okręgu
Rozważmy okrąg i dowolną jego cięciwę oraz poprowadźmy styczną przez jeden z końców tej cięciwy, jak na rysunku.
Możemy wówczas zaznaczyć miarę kąta , jaki cięciwa tego okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie . Zauważmy, że jeśli cięciwa nie jest średnicą, to styczna w punkcie tworzy z tą cięciwą dwa kąty, z których jeden jest ostry, a drugi – przyległy do niego – jest rozwarty.
Możemy powiedzieć, że kąt ostry jest oparty na krótszym z łuków o końcach w punktach i , a kąt rozwarty – na dłuższym z łuków o tych końcach. O kącie mówimy, że jest to kąt między styczną i cięciwą lub jako o kącie zdefiniowanym poniżej.
Niech dany będzie okrąg i punkt leżący na tym okręgu. Kąt o wierzchołku w punkcie nazywamy kątem dopisanym do danego okręgu, jeżeli jedno jego ramię zawiera się w stycznej do tego okręgu, a drugie ramię zawiera jedną z jego cięciw.
Miara kąta dopisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowegokąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy kąt dopisany jest ostry. W przypadku kąta rozwartego wystarczy rozważyć kąt przyległy. Przypadek, gdy kąt dopisany jest prosty jest trywialny.
Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. Kąt jest kątem dopisanym, a kąt jest kątem środkowym opartym na tym z łuków , który zawiera się w kącie dopisanym . Punkt leży na stycznej, a jest cięciwą okręgu o środku w punkcie .
Wtedy kąt jest prosty oraz .
Ale .
Stąd .
Co było do udowodnienia.
Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia i twierdzenia o kącie środkowymkącie środkowym i wpisanym jest stwierdzenie poniższe.
Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanegokąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Dane są dwa okręgi, które przecinają się w punktach i . Przez punkt poprowadzono odcinek, który przecina dane okręgi odpowiednio w punktach i . Miarą kąta jest równa . Wyznaczymy miarę kąta , pod jakim przecinają się styczne do odpowiednich okręgów, poprowadzone w punktach i , jak na rysunku.
Zauważmy, że z twierdzenia o kącie dopisanym dla stycznej i cięciwy mamy, że .
Podobnie dla stycznej i cięciwy mamy, że .
Ale .
Stąd .
Słownik
kątem środkowym w kole (okręgu) nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego koła (okręgu)
kątem wpisanym w kole (okręgu) nazywamy kąt wypukły, którego ramionami są proste zawierające cięciwy tego koła (okręgu), a wierzchołek należy do okręgu wyznaczającego brzeg koła