Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Kąt dopisany do okręgu

Rozważmy okrąg i dowolną jego cięciwę oraz poprowadźmy styczną przez jeden z końców tej cięciwy, jak na rysunku.

R54F0C7sVn3t0
Kąt dopisany

Możemy wówczas zaznaczyć miarę kąta α, jaki cięciwa PQ tego okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie P. Zauważmy, że jeśli cięciwa PQ nie jest średnicą, to styczna w punkcie P tworzy z tą cięciwą dwa kąty, z których jeden jest ostry, a drugi – przyległy do niego – jest rozwarty.

Możemy powiedzieć, że kąt ostry jest oparty na krótszym z łuków o końcach w punktach PQ, a kąt rozwarty – na dłuższym z łuków o tych końcach. O kącie α mówimy, że jest to kąt między styczną i cięciwą lub jako o kącie zdefiniowanym poniżej.

Kąt dopisany
Definicja: Kąt dopisany

Niech dany będzie okrąg i punkt P leżący na tym okręgu. Kąt o wierzchołku w punkcie P nazywamy kątem dopisanym do danego okręgu, jeżeli jedno jego ramię zawiera się w stycznej do tego okręgu, a drugie ramię zawiera jedną z jego cięciw.

Twierdzenie o kącie dopisanym
Twierdzenie: Twierdzenie o kącie dopisanym

Miara kąta dopisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Dowód

Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy kąt dopisany jest ostry. W przypadku kąta rozwartego wystarczy rozważyć kąt przyległy. Przypadek, gdy kąt dopisany jest prosty jest trywialny.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. Kąt α jest kątem dopisanym, a kąt β jest kątem środkowym opartym na tym z łuków PQ, który zawiera się w kącie dopisanym α. Punkt R leży na stycznej, a PQ jest cięciwą okręgu o środku w punkcie O.

RhRTu1UeGo0ho
Dowód twierdzenia o kącie dopisanym

Wtedy kąt RPO jest prosty oraz α+OPQ=90°.

Ale OPQ=12·180°-β=90°-β2.

Stąd α=90°-90°-β2=β2.

Co było do udowodnienia.

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia i twierdzenia o kącie środkowymkąt środkowykącie środkowym i wpisanym jest stwierdzenie poniższe.

Twierdzenie o kącie dopisanym i wpisanym
Twierdzenie: Twierdzenie o kącie dopisanym i wpisanym

Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanegokąt wpisanykąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

RjbpN2jY0HYwv
Kąt wpisany i dopisany
Przykład 1

Dane są dwa okręgi, które przecinają się w punktach QR. Przez punkt R poprowadzono odcinek, który przecina dane okręgi odpowiednio w punktach AB. Miarą kąta AQB jest równa 74°. Wyznaczymy miarę kąta APB, pod jakim przecinają się styczne do odpowiednich okręgów, poprowadzone w punktach AB, jak na rysunku.

R1BweWjnKM4uo

Zauważmy, że z twierdzenia o kącie dopisanym dla stycznej AP i cięciwy AR mamy, że AQR=RAP.

Podobnie dla stycznej BP i cięciwy BR mamy, że BQR=RBP.

Ale BQR+AQR=74°=RBP+RAP=180°-APB.

Stąd APB=180°-74°=106°.

Słownik

kąt środkowy
kąt środkowy

kątem środkowym w kole (okręgu) nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego koła (okręgu)

kąt wpisany
kąt wpisany

kątem wpisanym w kole (okręgu) nazywamy kąt wypukły, którego ramionami są proste zawierające cięciwy tego koła (okręgu), a wierzchołek należy do okręgu wyznaczającego brzeg koła