Podamy równania asymptot wykresu funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od podania dziedziny funkcji.

Funkcja jest poprawnie określona dla $x>0$, więc $D_f=\left(0,\infty \right)$.

Licząc więc granicę na kończach przedziału otrzymamy: $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

oraz

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$.

Zatem prosta $y=0$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $f$ a prosta $x=0$ jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji $f$.

Podamy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-5x}{x^2-4}$.

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od podania dziedziny funkcji.

Funkcja jest określona dla $x^2-4\ne 0$:

$x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0$ dla $x=-2$ i $x=2$.

Stąd dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2,2\right\}$.

Dziedzinę zapisujemy w postaci sumy przedziałów, bo jest to wygodne przy liczeniu granic.

$D_f=\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-2,2\right)\cup \left(2,\infty \right)$.

Granice liczymy na końcach przedziałów wyznaczonych w dziedzinie:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{5x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{5}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}=1$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{5x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{5}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}=1$.

Istnieje asymptota pozioma obustronna $y=1$.

Aby policzyć granice jednostronne przy $x$ dążącym do $\left(-2\right)$ i $x$ dążącym do $2$ rozkładamy mianownik na czynniki: $x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$.

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-4}=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2-5x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=$

$=\left[\frac{{\left(-2\right)}^2-5·\left(-2\right)}{0^{-}·\left(-2-2\right)}\right]=\left[\frac{4+10}{0^{-}·\left(-4\right)}\right]=\infty$

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-4}=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=$

$=\left[\frac{{\left(-2\right)}^2-5·\left(-2\right)}{0^{+}·\left(-2-2\right)}\right]=\left[\frac{4+10}{0^{+}·\left(-4\right)}\right]=-\infty$

Prosta $x=-2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-5x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\left[\frac{2^2-5·2}{\left(2+2\right)·0^{-}}\right]=$

$=\left[\frac{4-10}{4·0^{-}}\right]=\left[\frac{-6}{4·0^{-}}\right]=\infty$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\left[\frac{2^2-5·2}{\left(2+2\right)·0^{+}}\right]=$

$=\left[\frac{4-10}{4·0^{+}}\right]=\left[\frac{-6}{4·0^{+}}\right]=-\infty$

Prosta $x=2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też, ponieważ istnieje asymptota pozioma $y=1$, to nie badamy istnienia asymptoty ukośnej.

Zilustrujemy te asymptoty na wykresie funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-5x}{x^2-4}$.

RuTufE87ON6ik

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składających się z hiperboli, której dwa łukowate człony znajdują się w drugiej i w czwartej ćwiartce. Pomiędzy tą częścią wykresu znajduje się krzywa, która biegnie niemal pionowo od minus nieskończoności do punktu $\left(0;0\right)$ w trzeciej ćwiartce o raz z tego punktu biegnie dalej pionowo w górę w pierwszej ćwiartce. Asymptoty funkcji zaznaczono linią przerywaną. To pozioma prosta o równaniu $y=1$ oraz dwie pionowe proste o równaniach $x=-2$ oraz $x=2$.

Odpowiedź:

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-5x}{x^2-4}$ ma asymptotę poziomą obustronną $y=1$ oraz dwie asymptoty pionowe $x=-2$ i $x=2$.

Podamy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^3}{x-2}}$.

Zanim przejdziemy do wyliczenia dziedziny, funkcję $f\left(x\right)$ zapiszmy w postaci:

$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^3}{x-2}}=\sqrt{\frac{x^2·x}{x-2}}=\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}$.

Skorzystaliśmy z własności $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

Funkcja $f\left(x\right)=\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}$ jest określona dla $\frac{x}{x-2}⩾0$.

Rozwiązując nierówność $\frac{x}{x-2}⩾0$, zauważamy, że jest ona równoważna nierówności $x\left(x-2\right)⩾0$ i $x\ne 2$.

Rozwiązaniem nierówności $x\left(x-2\right)⩾0$ przy założeniu, że $x\ne 2$, jest $x\in \left(-\infty ,0\right.⟩\cup \left(2,\infty \right)$.

Rozwiązanie tej nierówności możemy odczytać z wykresu funkcji $y=x\left(x-2\right)$:

RMyHMDVAJs0Nq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w punkcie $\left(1;-1\right)$, o ramionach skierowanych do góry i o dwóch miejscach zerowych: $\left(0;0\right)$ oraz $\left(0;2\right)$. Na poziomej osi X narysowano dwie czerwone półproste: lewa biegnie od minus nieskończoności do x równa się zero oraz prawa od x równa się dwa do plus nieskończoności, czyli jest to część osi na zewnątrz paraboli.

Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}$ jest zbiór $D_f=\left(-\infty ,0\right.⟩\cup \left(2,\infty \right)$.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $a$wartości bezwzględnej oraz uwzględniając dziedziną funkcji $f$, możemy możemy zapisać:

$f\left(x\right)=\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}=\left\{\begin{array}{ll}x·\sqrt{\frac{x}{x-2}}& \mathrm{dla} x\in \left(2, \infty \right)\\ -x·\sqrt{\frac{x}{x-2}}& \mathrm{dla} x\in \left(-\infty ,0\right.⟩\end{array}\right.$.

Policzymy teraz granice na krańcach przedziałów wyznaczonych w dziedzinie.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x·\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x·\sqrt{\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}\right)=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x·\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}\right)=\infty$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}=0$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}=\left[2·\sqrt{\frac{2}{0^{+}}}\right]=\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x·\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x·\sqrt{\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}\right)=$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x·\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}\right)=\infty$

Na podstawie wyliczonych granic możemy stwierdzić, że wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną $x=2$ i nie ma asymptot poziomych, szukamy więc asymptot ukośnych.

Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji, gdy istnieją granice właściwe

$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ i $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$ lub $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ i $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$.

Liczymy więc granice:

$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|·\frac{\sqrt{\frac{x}{x-2}}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}\right)=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}\right)=-\sqrt{\frac{1}{1-0}}=-1$

$a=-1$,

$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}+x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[-x·\sqrt{\frac{x}{x-2}}+x\right]=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x\left(-\sqrt{\frac{x}{x-2}}+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x\left(1-\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)\right]$.

Przekształćmy to wyrażenie do postaci ułatwiającej wyliczenie granicy:

$x\left(1-\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)=x·\frac{\left(1-\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)·\left(1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)}{1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}}=x·\frac{1-\frac{x}{x-2}}{1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}}=x·\frac{\frac{x-2}{x-2}-\frac{x}{x-2}}{1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}}=$

$=x·\frac{\frac{-2}{x-2}}{1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}}=\frac{\frac{-2x}{x-2}}{1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}}=\frac{-2x}{\left(x-2\right)\left(1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)}=$

$=\frac{-2x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(1+\sqrt{\frac{x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}}\right)}=\frac{-2}{\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}\right)}$.

Wróćmy do wyliczenia $b$:

$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x\left(1-\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{-2}{\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}\right)}\right]=\frac{-2}{\left(1-0\right)\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-0}}\right)}=$

$=\frac{-2}{2}=-1$.

Prosta $y=-x–1$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)$.

Analogicznie wyznaczamy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej:

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|x\right|·\frac{\sqrt{\frac{x}{x-2}}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}\right)=$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}\right)=\sqrt{\frac{1}{1-0}}=1$

$a=1$

$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\left|x\right|·\sqrt{\frac{x}{x-2}}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x·\sqrt{\frac{x}{x-2}}-x\right]=$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}-1\right)\right]$

$x\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}-1\right)=x·\frac{\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}-1\right)·\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}+1\right)}{\sqrt{\frac{x}{x-2}+1}}=x·\frac{\frac{x}{x-2}-1}{\sqrt{\frac{x}{x-2}+1}}=x·\frac{\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x-2}}{\sqrt{\frac{x}{x-2}+1}}=$

$=\frac{2x}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}+1\right)}=\frac{2}{\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}+1\right)}$

$=\frac{2}{\left(1-0\right)\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-0}}\right)}=\frac{2}{2}=1$.

Prosta $y=x+1$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)$.

RaWhURkIVV8qr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z ukośnego kawałka krzywej znajdującego się w drugiej ćwiartce. Prawy koniec kawałka krzywej znajduje się w początku układu współrzędnych. Ta część wykresu ograniczona jest ukośną asymptotą zaznaczoną linią przerywaną o wzorze: $y=x+1$. Druga składowa wykresu znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jest to łuk wybrzuszony w kierunku początku układu. Łuk ograniczają asymptoty narysowane linią przerywaną. Asymptoty te określone są następująco: $x=2$ oraz $y=-x-1$.

Asymptotami wykresu funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^3}{x-2}}$ są proste:

• $x=2$ pionowa prawostronna,

• $y=-x-1$ ukośna lewostronna,

• $y=x+1$ ukośna prawostronna.

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=x^3+5x^2-3x+2$. Wówczas $D_f=\mathrm{ℝ}$, więc funkcja nie ma asymptot pionowych.

Obliczmy granice na krańcach dziedziny: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+5x^2-3x+2\right)=+\infty$ oraz $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+5x^2-3x+2\right)=-\infty$, więc funkcja nie ma asymptot poziomych.

Sprawdźmy, czy funkcja ma asymptoty ukośne. Policzmy granice:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+5x^2-3x+2}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2+5x-3+\frac{2}{x}\right)=+\infty$ oraz

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+5x^2-3x+2}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2+5x-3+\frac{2}{x}\right)=+\infty$, więc funkcja nie ma asymptot ukośnych.