Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Ośmiościan foremny (inaczej oktaedr) to wielościanwielościanwielościan foremny o 8 ścianach w kształcie przystającychfigury przystająceprzystających trójkątów równobocznych.

R1APg9017Z1Ym

Wzór na pole powierzchni całkowitej ośmiościanu foremnego

Pc=2a23

Wzór na objętość ośmiościanu foremnego

V=a323

Wzór na długość promienia kuli wpisanej w ośmiościan foremny

r=a66

Wzór na długość promienia kuli opisanej na ośmiościanie foremnym

R=a22
Przykład 1

Obliczymy pole i objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi długości 6 cm oraz pole kuli opisanej na tym ośmiościanie.

Rozwiązanie

Pc=2a23=2·62·3=723 cm2

V=a323=6323=722 cm3

Obliczymy długość promienia kuli opisanego na wielościanie:

R=a22=32 cm

Zatem pole kuli wynosi:

P=4πR2=4π·322=72π cm2

Przykład 2

Środki ścian sześcianu są wierzchołkami ośmiościanu. Obliczymy objętość tego ośmiościanu, jeśli objętość sześcianu wynosi 512.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RPpZRjJgcsvoA

Niech a - długość krawędzi sześcianu. Wówczas a3=512, zatem a=8.

Zauważmy też, że HJ=8. Odcinek ten jest przekątną kwadratu GHIJ. Możemy więc obliczyć długość krawędzi ośmiościanu foremnego. Oznaczmy ją jako x.

x2=8

x=82=42

Możemy więc policzyć objętość ośmiościanu:

V=42323=1282·23=2563

Przykład 3

Przekątna ośmiościanu ma długość s. Obliczymy jego pole i objętość.

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór na przekątną ośmiościanu o krawędzi długości ad=a2.

Zatem powstaje równanie:

s=a2

a=s22

Możemy więc policzyć pole i objętość ośmiościanu:

PC=2a23=2·s2223=2·2s243=s23

V=s22323=22s38·23=s36

Przykład 4

Promień kuli wpisanej w ośmiościan foremny jest o 6 krótszy od promienia kuli opisanej na ośmiościanie foremnym. Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość bryły.

Rozwiązanie

Oznaczmy jako a długość krawędzi ośmiościanu. Możemy więc ułożyć równanie:

a66+6=a22

a6+66=3a2

66=a32-6

a=6632-6

Usuńmy niewymierność z mianownika:

a=6632-6·32+632+6=6632+618-6=1812+3612=363+3612=33+3

Obliczmy więc pole i objętość ośmiościanu:

Pc=2a23=2·33+323=723+108

V = ( 3 3 + 3 ) 3 2 3 = 54 6 + 90 2

Przykład 5

Ośmiościan ABCDEF o krawędzi a przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzn trójkątów BCEAFD oraz przechodzącą przez środki pozostałych krawędzi (zobacz rysunek). Obliczymy pole otrzymanego przekroju.

R6ZWFOS2HzXYg

Rozwiązanie

Przekrojem jest sześciokąt foremny o krawędzi dwa razy krótszej od krawędzi ośmiościanu. Pole przekroju jest zatem równe:

P=6·12a234=6a2316=3a238

Słownik

wielościan
wielościan

bryła geometryczna, ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów; każdy wielościan utworzony jest ze ścian – wielokątów, które razem tworzą powierzchnię wielościanu

figury przystające
figury przystające

wszystkie figury, które mają taką samą liczbą boków, o takiej samej długości oraz kąty między tymi bokami mają takie same wartości; figury przystające mają więc takie samo pole powierzchni i idealnie się na siebie nakładają