Warto przeczytać

Na jadący po poziomej drodze samochód działa wiele sił. Możemy jednak spróbować przedstawić je w uproszczonej postaci, wprowadzając siłę ciągu silnika $\overrightarrow{F_c}$, powodującą ruch samochodu oraz wypadkową siłę oporów ruchu $\overrightarrow{F_o}$, która ten ruch utrudnia. Wypadkową siłę oporu tworzą m.in. siła oporu powietrza oraz siła tarcia między kołami a podłożem. Na samochód działa też siła ciężkości $\overrightarrow{Q}$, równoważona przez siłę reakcji podłoża $\overrightarrow{R}$.  Wszystkie siły działające na poruszający się samochód przedstawiliśmy na Rys. 1.

R11fg2lE4445k

Rys. 1. Rysunek przedstawia zdjęcie czarnego samochodu sportowego, ustawionego przodem w lewą stronę rysunku. Na zdjęcie samochodu naniesiono cztery wektory sił, wszystkie przyłożone w środku masy pojazdu. Siła działająca pionowo do góry, stanowi siłę reakcji podłoża i jest oznaczona żółtym wektorem oraz dużą żółtą literą R ze znaczkiem wektora nad nią. Siła działająca pionowo w dół, stanowi siłę ciężkości i jest oznaczona zielonym wektorem oraz dużą zieloną literą Q ze znaczkiem wektora nad nią. Siła działająca poziomo w lewo, stanowi siłę ciągu silnika i jest oznaczona niebieskim wektorem oraz dużą niebieską literą F z indeksem dolnym c ze znaczkiem wektora nad nią. Siła działająca poziomo w prawo, stanowi siłę oporów ruchu i jest oznaczona czerwonym wektorem i dużą czerwoną literą F z indeksem dolnym o ze znaczkiem wektora nad nią.

Parametrem, który zazwyczaj interesuje nas bardziej od siły ciągu silnika, jest jego moc. Zwróć uwagę na tabele parametrów różnych samochodów – podają one maksymalną moc silnika, nie siłę ciągu silnika. Przykładową tabelę przedstawiliśmy poniżej.

Tabela 1. Tabela parametrów samochodu Audi Q3 wraz z informacją o maksymalnej mocy (dane ze strony Autokult.pl)

Mówiąc o mocy, często wprowadza się dwa rodzaje tej wielkości fizycznej – moc średnią $P_{śr}$ oraz moc chwilową $P_{ch}$. Moc średnia $P_{śr}$ zdefiniowana jest jako stosunek pracy wykonanej przez dane ciało, do czasu jej wykonywania.

Podczas wyznaczania mocy średniej analizujemy większe przedziały czasu. W sytuacji, gdy moc danego ciała zmienia się w czasie, wyznaczenie mocy średniej może dać nam niepełny obraz sytuacji. Aby precyzyjnie określić, jaka jest moc danego ciała w bardzo krótkiej chwili czasu, możemy wyznaczyć moc chwilową $P_{ch}$. Z definicji, jest ona równa:

Matematycznie, powyższe wyrażenie oznacza, że moc chwilowa jest pochodną pracy po czasie. Jak wyznaczyć moc silnika samochodowego, znając siłę ciągu przez niego wytwarzaną? Zajmiemy się tym w poniższych przykładach.

Przykład 1: Samochód jadący ze stałą prędkością

Spróbujmy najpierw powiązać moc dostarczaną przez silnik z jego siłą ciągu, dla samochodu jadącego po poziomej drodze ze stałą prędkością, jeśli siła ciągu silnika wynosi $\overrightarrow{F_c}$, a samochód przejeżdża drogę $s$. Droga $s$ jest równa przemieszczeniu samochodu $\Delta r$. Oznacza to, że praca wykonana przez silnik wynosi:

Gdy samochód porusza się ruchem jednostajnym, przebyta przez niego droga wynosi $s=vt$, gdzie $v$ jest wartością prędkości samochodu, a $t$ – czasem ruchu. Ostatecznie, praca silnika samochodu wynosi:

Aby wyznaczyć moc silnika, skorzystajmy z definicji mocy:

Oznacza to, że dla jadącego ze stałą prędkością samochodu, moc silnika jest proporcjonalna do jego prędkości. W tym przypadku moc średnia i chwilowa są sobie równe, gdyż prędkość samochodu jest ustalona. Sytuacja ta ma miejsce, gdy siła ciągu silnika $\overrightarrow{F_c}$ jest równoważona przez wypadkową siłę oporu $\overrightarrow{F_o}$. Spróbujmy teraz przeanalizować nieco trudniejsze zagadnienia.

Przykład 2: Moc silnika dla przyspieszającego samochodu

Rozważmy następującą sytuację: poruszający się z początkową prędkością $v_0$ samochód zbliżał się skrzyżowania. Kierowca zauważył, że na sygnalizatorze nad jego jezdnią światło jest zielone, więc postanowił nieco przyspieszyć, aby zdążyć przejechać przez skrzyżowanie przed ponowną zmianą światła na czerwone. Po mocniejszym wciśnięciu pedału gazu, samochód zaczął poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem równym $a$. Ile będzie wynosić średnia moc silnika samochodu w łącznym czasie $t_r$, niezbędnym do przejechania skrzyżowania? Jaka będzie chwilowa moc silnika? Masa samochodu wynosi $m$, a wartość siły ciągu silnika podczas przyspieszania była stała i wynosiła $F_c$.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczmy pracę wykonaną przez silnik. Droga, którą samochód przebył w czasie $t_r$ wynosi:

Droga ta jest równa przemieszczeniu samochodu. Praca wykonana przez silnik wynosi zatem:

Aby wyznaczyć średnią moc, należy podzielić pracę przez całkowity czas, w jakim była ona wykonywana:

Zwróć uwagę na wyrażenie w nawiasie. Możemy przekształcić je w następujący sposób:

gdzie jako $\Delta v=a{t}_r$ wyraziliśmy przyrost prędkości samochodu pod wpływem przyspieszenia działającego w czasie $t_r$. Z kolei przez $v_k$ oznaczyliśmy końcową prędkość pojazdu po tym czasie. Po przekształceniach, po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość średniej prędkości podczas ruchu przyspieszonego. Oznacza to, że średnią moc możemy również wyznaczyć mnożąc siłę ciągu przez wartość prędkości średniej:

Jest to identyczny wynik do otrzymanego w poprzednim przykładzie.

Moc chwilowa $P_{ch}$ jest mocą samochodu wyznaczoną w bardzo małym przedziale czasu. Aby określić jej wartość, również możemy posłużyć się relacją opisującą zależność mocy od prędkości samochodu, wyprowadzoną w poprzednim przykładzie. Wtedy, do jej uzyskania przyjęliśmy, że samochód porusza się ze stałą prędkością. W naszym przypadku samochód przyspiesza. Nie jest to jednak problem – skoro moc chwilowa określona jest w bardzo krótkim odcinku czasu, to prędkość samochodu nie zdąży wtedy ulec większej zmianie. Im krótszy przedział czasu będziemy rozważać, tym mniej zmieni się prędkość samochodu i tym dokładniejszy wynik uzyskamy. Dla coraz krótszych przedziałów czasu, wartość prędkości będzie zbiegać do pewnej ustalonej wartości, którą nazywamy prędkością chwilową $v_{ch}$. Moc chwilowa wyniesie wtedy:

Samochód porusza się z przyspieszeniem, więc i jego chwilowa prędkość stale rośnie. Rośnie zatem również chwilowa moc silnika. Zgodnie z warunkami naszego zadania, chwilową prędkość samochodu można wyrazić jako:

Chwilowa moc będzie zatem równa:

Komentarz fizyczny

W tym przykładzie przyjęliśmy, że przyspieszenie samochodu jest stałe – stałe zatem są: siła ciągu silnika oraz wypadkowa siła oporów ruchu. Założenie to nie jest w rzeczywistości prawdziwe, gdyż m.in. siła oporu powietrza zależy od bieżącej prędkości samochodu. Im większa jest prędkość samochodu, tym większa staje się siła oporu powietrza. Oznacza to, że przyspieszenie samochodu będzie malało, gdy będzie rosła jego prędkość (jeśli przyjmiemy, że siła ciągu silnika jest stała). Zagadnienie to można rozwiązać, nie jesteśmy jednak w stanie zrobić tego bez znajomości innego, bardziej zaawansowanego, narzędzia matematycznego – rachunku różniczkowego.

Komentarz matematyczny

Czym dokładnie jest prędkość chwilowa? Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozważmy samochód poruszający się ze stałym przyspieszeniem $a$ = 0,5 m/sIndeks górny 2². Załóżmy, że w chwili $t$ = 0, prędkość samochodu wynosiła $v_0$ = 10 m/s. Rozważmy teraz, jak zmieniać się będzie prędkość samochodu dla coraz mniejszych przedziałów $\Delta r$:

Widzimy, że gdy rozpatrujemy coraz mniejsze przedziały czasu, prędkość samochodu dąży do pewnej ustalonej wartości (tutaj: 10 m/s). Jest to wartość prędkości chwilowej, a związana jest z nią moc chwilowa.

Przykład 3: Samochód wjeżdżający pod górę

Podczas rajdu samochodowego w Dakarze, jeden z kierowców wybiera trasę w górę zbocza o średnim kącie nachylenia wynoszącym 7°. W samochodzie o masie $m$ = 3 t, silnik zapewnia stałą siłę ciągu wynoszącą $F_c$ = 5000 N. Wyznacz zależność chwilowej mocy silnika samochodu od czasu podczas jazdy pod górę, jeśli u dołu zbocza samochód spoczywał. Przyjmij, że siła oporów ruchu (tzn. wypadkowa sił: tarcia, oporu powietrza etc.) jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu i stanowi 40% wypadkowej siły działającej na samochód.

Analiza zadania

Samochód będzie poruszał się w górę zbocza z pewnym przyspieszeniem, zależnym od działającej na niego wypadkowej siły. Wszystkie siły działające na samochód przedstawiliśmy na Rys. 2. Po wyznaczeniu przyspieszenia, będziemy w stanie określić, jak zmienia się prędkość samochodu w funkcji czasu i określić jego chwilową moc.

R1YU0p9ahwHCV

Rys. 2. Rysunek przedstawia zdjęcie kremowego samochodu osobowego, ustawionego przodem w lewą stronę rysunku, jadącego pod górę. Na zdjęcie samochodu naniesiono wektory sił, wszystkie przyłożone w środku masy pojazdu. Siła działająca w górę prostopadle do drogi, stanowi siłę reakcji podłoża i jest oznaczona czerwonym wektorem oraz dużą czerwoną literą R ze znaczkiem wektora nad nią. Siła działająca pionowo w dół, stanowi siłę ciężkości i jest oznaczona niebieskim wektorem i dużą niebieską literą Q ze znaczkiem wektora nad nią. Siła działająca w lewo równolegle do drogi, stanowi siłę ciągu silnika i jest oznaczona czerwonym wektorem i dużą czerwoną literą F z indeksem dolnym c ze znaczkiem wektora nad nią. Siła działająca w prawo równolegle do drogi, stanowi siłę oporów ruchu i jest oznaczona czerwonym wektorem i dużą czerwoną literą F z indeksem dolnym o ze znaczkiem wektora nad nią. Siłę ciężkości rozłożono na dwa prostopadłe do siebie oznaczone i opisane zielonym kolorem wektory: prostopadły i równoległy do drogi.

Na samochód działają: siła ciężkości $\overrightarrow{Q}$, siła reakcji podłoża $\overrightarrow{R}$, siła oporów ruchu $\overrightarrow{F_o}$ oraz siła ciągu silnika $\overrightarrow{F_c}$. Przyspieszenie wywołane jest jedynie przez siły działające w kierunku ruchu, będą to: równoległa do zbocza składowa siła ciężkości ${\overrightarrow{Q}}_{\parallel }$, siła oporów ruchu $\overrightarrow{F_o}$ oraz siła ciągu silnika $\overrightarrow{F_c}$.

Rozwiązanie

Wypadkowa siła działająca na samochód jest równa:

Wartość równoległej składowej siły ciężkości wynosi $Q_{\parallel }=mgsin\alpha$. Podstawiając dodatkowo do powyższego wzoru warunek pomiędzy siłą wypadkową, a siłą oporów ruchu, otrzymamy:

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, siła wypadkowa powoduje ruch ciała z przyspieszeniem:

Ponieważ prędkość początkowa samochodu była równa zeru, zależność prędkości od czasu ma postać:

Chwilowa moc wynosi zatem:

czyli rośnie proporcjonalnie do czasu.

Przykładowo, po dwóch sekundach ruchu, moc silnika będzie równa:

Po czterech sekundach wyniesie ona z kolei:

Chwilowa moc silnika rośnie z czasem, gdyż zwiększa się prędkość samochodu.

Słowniczek