Rozwiążemy równanie

${\left(x+7\right)}^3+x\left(x^2+147\right)=7\left(3x^2+49\right)$.

Przenosimy wyrażenia z prawej strony równania na lewą stronę i wykonujemy mnożenia.

${\left(x+7\right)}^3+x\left(x^2+147\right)-7\left(3x^2+49\right)=0$

${\left(x+7\right)}^3+\left(x^3+147x\right)-\left(21x^2+343\right)=0$

${\left(x+7\right)}^3+x^3-21x^2+147x-343=0$

Zauważmy, że cztery ostatnie składniki występujące po lewej stronie równania można zapisać w postaci sześcianu różnicy.

${\left(x+7\right)}^3+{\left(x-7\right)}^3=0$

Korzystamy z pierwszej tożsamości Lagrange’a, zapisując lewą stronę równania w postaci iloczynu.

$2x(x^2+3\cdot 7^2)=0$

$2x=0\Rightarrow x=0$

lub

$x^2+147=0\Rightarrow$ równanie nie ma rozwiązania

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $x=0$.

Zapiszemy w postaci iloczynu dwumianów, wyrażenie

$W={\left(a-b\right)}^3+{\left(b-c\right)}^3+{\left(c-a\right)}^3$

Wykonujemy potęgowanie i redukujemy wyrazy podobne.

$W=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3+b^3-3b^{2}c+3b{c}^2-c^3+$

$+c^3-3c^{2}a+3c{a}^2-a^3$

$W=-3a^{2}b+3a{b}^2-3b^{2}c+3b{c}^2-3c^{2}a+3c{a}^2$

Dodajemy i jednocześnie odejmujemy wyrażenie $3abc$ i wyłączamy $3$ przed nawias.

$W=-3a^{2}b+3a{b}^2-3b^{2}c+3b{c}^2-3c^{2}a+3c{a}^2+3abc-3abc$

$W=3\left(-a^{2}b+a{b}^2-b^{2}c+b{c}^2-c^{2}a+c{a}^2+abc-abc\right)$

Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki poza nawias.

$W=3[(abc-a^{2}b-c^{2}a+c{a}^2)+(-abc+a{b}^2-b^{2}c+b{c}^2)]$

$W=3\left[a\left(bc-ab-c^2+ca\right)+b\left(-ac+ab-bc+c^2\right)\right]$

$W=3\left[a\left(bc-ab-c^2+ca\right)-b\left(ac-ab+bc-c^2\right)\right]$

Teraz wspólnym czynnikiem jest $bc-ab-c^2+ca$,

$W=3\left(a-b\right)\left(bc-ab-c^2+ca\right)$

Grupujemy wyrażenie w drugim nawiasie i rozkładamy je na czynniki.

$W=3\left(a-b\right)·\left[\left(bc-ab\right)-\left(c^2-ca\right)\right]$

$W=3\left(a-b\right)·\left[b\left(c-a\right)-c\left(c-a\right)\right]$

$W=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$

Teraz przykład zastosowania wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy do rozkładu wielomianu na czynniki.

Wykażemy, że wielomian $W\left(x\right)=x^5-{\left(x-1\right)}^3-x^4-x^3-x^2+4x-2$ ma tylko dwa pierwiastki rzeczywiste.

Wykonujemy wskazane działania i redukujemy wyrazy podobne.

$W\left(x\right)=x^5-x^3+3x^2-3x+1-x^4-x^3-x^2+4x-2$

$W\left(x\right)=x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1$

Rozważany wielomian jest stopnia piątego, zatem, aby znaleźć jego pierwiastki, najdogodniej będzie rozłożyć wielomian na czynniki.

Grupujemy odpowiednio wyrazy.

$W\left(x\right)=\left(x^5-x^4\right)-\left(2x^3-2x^2\right)+\left(x-1\right)$

Wyłączamy wspólne czynniki przed nawias.

$W\left(x\right)=x^4\left(x-1\right)-2x^2\left(x-1\right)+\left(x-1\right)$

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^4-2x^2+1\right)$

$W\left(x\right)=\left(x-1\right){\left(x^2-1\right)}^2$

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)·{\left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right]}^2$

$W\left(x\right)={\left(x-1\right)}^3·{\left(x+1\right)}^2$

$W\left(x\right)=0\iff \left[{\left(x-1\right)}^3=0 \text{lub} {\left(x+1\right)}^2=0\right]$

Zatem

$W\left(x\right)=0\iff \left[x=1 \text{lub} x=-1\right]$

Odpowiedź:

Jedynymi pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu są liczby $\left(-1\right)$, $1$.

Rozwiążemy w liczbach całkowitych równanie $x^3-6y^2-2=0$.

Aby skorzystać z Wielkiego Twierdzenia Fermata, musimy tak przekształcić równanie, aby po jednej stronie równania stała  potęga pewnej liczby (w naszym przypadku trzecia potęga $x$), a po drugiej – suma tych samych  potęg (czyli u nas trzecich potęg) dwóch innych liczb.

Po lewej stronie pozostawiamy więc $x^3$, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równania.

$x^3=6y^2+2$

Wyraz wolny $2=1+1$ sugeruje nam, że w szukanych wyrażeniach podnoszonych do trzeciej potęgi, jednym ze składników będzie liczba $1$. Z kolei $6y^2=3y^2+3y^2$.

$x^3=3y^2+3y^2+1+1$

Dodajemy i zarazem odejmujemy takie wyrażenia, aby otrzymać sześciany odpowiednio sumy i różnicy liczb $1$ oraz $y$.

$x^3=3y^2+3y^2+1+1+3y-3y+y^3-y^3$

Grupujemy odpowiednio wyrazy i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumywzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy oraz ze wzoru na sześcian różnicy.

$x^3=\left(1+3y^2+3y+y^3\right)+\left(1-3y+3y^2-y^3\right)$

$x^3={\left(1+y\right)}^3+{\left(1-y\right)}^3$

Z Wielkiego Twierdzenia Fermata wynika, że

$1+y=0$ lub $1-y=0$

Zatem

$y=-1$ i $x=2$

lub

$y=1$ i $x=2$

Odpowiedź:

Równanie spełniają dwie pary liczb: $\left(2, -1\right)$, $\left(2, 1\right)$.