Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym zachodzi równość:

Wzór ten nazywamy jedynką trygonometryczną.

Wyznaczymy wartość $\cos \alpha$, jeżeli dany jest $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ oraz $\alpha$ jest kątem ostrym.

W celu wyznaczenia wartości $\cos \alpha$ wykorzystamy wzór ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Podstawiamy wartość $\sin \alpha =\frac{1}{3}$.

Otrzymujemy równanie:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$.

Stąd ${\cos }^2\alpha =\frac{8}{9}$, więc $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$ lub $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, zatem $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Wyznaczymy wartość $\sin \alpha$, jeżeli dany jest $\cos \alpha =\frac{2}{5}$ oraz $\alpha$ jest kątem ostrym.

W celu wyznaczenia wartości $\sin \alpha$ wykorzystamy wzór ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Podstawiamy wartość $\cos \alpha =\frac{2}{5}$.

Otrzymujemy równanie:

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=1$.

Stąd ${\sin }^2\alpha =\frac{21}{25}$, więc $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$ lub $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{21}}{5}$. Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, zatem $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Sprawdzimy, czy istnieje taki kąt $\alpha$, dla którego $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$ oraz $\cos \alpha =\frac{1}{4}$.

Podane wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$ podstawiamy do jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy: ${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{2}{9}+\frac{1}{16}=\frac{32+9}{144}=\frac{41}{144}$.

Ponieważ $\frac{41}{144}\ne 1$, zatem nie istnieje taki kąt.

Wyznaczymy wartość $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$, jeżeli wiadomo że $\alpha$ jest kątem ostrym oraz sinus tego kąta jest dwa razy większy od cosinusa.

Z zadania możemy ułożyć następujący warunek:

$\sin \alpha =2\cos \alpha$.

Podany warunek podstawiamy do jedynki trygonometrycznej. Otrzymujemy równanie:

${\left(2\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$, zatem $5{\cos }^2\alpha =1$.

Czyli ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$, więc $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, zatem $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ oraz $\sin \alpha =2·\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Wyznaczymy wartość wyrażenia ${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2$, jeżeli $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2}{9}$.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

Zatem mamy:

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha ·\cos \alpha =1+2·\frac{2}{9}=1+\frac{4}{9}=1\frac{4}{9}$.

Wiadomo, że stosunek sinusa pewnego kąta ostrego $\alpha$ do cosinusa tego kąta wynosi $\frac{12}{5}$. Wyznaczymy wartość wyrażenia $\sin \alpha +\cos \alpha$.

Z warunku podanego w zadaniu mamy, że $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{12}{5}$, zatem $\sin \alpha =\frac{12}{5}\cos \alpha$.

Podstawiamy to wyrażenie do jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy: ${\left(\frac{12}{5}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$, co po przekształceniu daje $\frac{169}{25}{\cos }^2\alpha =1$.

Z równania otrzymujemy, że ${\cos }^2\alpha =\frac{25}{169}$, więc $\cos \alpha =\frac{5}{13}$, bo $\alpha$ jest kątem ostrym.

Zatem $\sin \alpha =\frac{12}{5}·\frac{5}{13}=\frac{12}{13}$.

Szukana suma wynosi $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{12}{13}+\frac{5}{13}=\frac{17}{13}$.

dla dowolnego kąta $\alpha$ zachodzi równość ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$