Przeczytaj

Równanie kwadratowe – jest to równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe najczęściej rozwiązuje się obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego, zwany deltą.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Rozważmy równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa pierwiastki $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jeden pierwiastek, nazwany podwójnym pierwiastkiem $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma pierwiastków.

Równanie kwadratowe możemy rozwiązywać również metodą rozkładania na czynniki poprzez wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia lub grupowanie wyrażeń.

Przykład 1

Określimy liczbę niewymiernych pierwiastków równania $\sqrt{3} x^{2} - 4 x + \sqrt{2} = 0$ .

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ = (4)^{2} - 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 16 - 4 \sqrt{6}$

Ponieważ $Δ > 0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

Ale $\sqrt{Δ} = \sqrt{16 - 4 \sqrt{6}}$ jest liczbą niewymierną, zatem równanie ma dwa pierwiastki niewymierne.

Przykład 2

Wyznaczymy taką wartość parametru $z$ , aby liczba $x_{0} = - 1$ spełniała równanie $- 4 x^{2} + (z^{2} - 3) x + 2 z^{2} + 4 z + 1 = 0$ .

Ponieważ $- 1$ jest pierwiastkiem równania, więc możemy zapisać zależność:

$- 4 (- 1)^{2} + (z^{2} - 3) (- 1) + 2 z^{2} + 4 z + 1 = 0$ .

$- 4 - z^{2} + 3 + 2 z^{2} + 4 z + 1 = 0$

$z^{2} + 4 z = 0$

$z (z + 4) = 0$

$z = 0$ lub $(z + 4) = 0$

$z = 0$ lub $z = - 4$

Aby rozwiązaniem równania była liczbaliczba spełniająca równanierozwiązaniem równania była liczba $- 1$ $z = - 4, z = 0.$

Przykład 3

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} - 5 x - 2$ . Rozwiążemy równanie $f (x - 1) = 1 - f (2 - x)$ .

Zapiszemy równanie:

$(x - 1)^{2} - 5 (x - 1) - 2 = 1 - [(2 - x)^{2} - 5 (2 - x) - 2]$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 5 x + 5 - 2 = 1 - (4 - 4 x + x^{2} - 10 + 5 x - 2)$

$x^{2} - 7 x + 4 = 1 - (x^{2} + x - 8)$

$x^{2} - 7 x + 4 = 1 - x^{2} - x + 8$

$2 x^{2} - 6 x - 5 = 0$

$Δ = 36 - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 36 + 40 = 76$

$\sqrt{Δ} = 2 \sqrt{19}$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{6 - 2 \sqrt{19}}{4}$

$x_{1} = \frac{3 - \sqrt{19}}{2}$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{6 + 2 \sqrt{19}}{4}$

$x_{2} = \frac{3 + \sqrt{19}}{2}$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = \frac{3 - \sqrt{19}}{2}, x = \frac{3 + \sqrt{19}}{2} .$

Przykład 4

Podamy przyklad takich liczb $a$ i $b$ , aby równania $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ i $| x - a | = b$ posiadały taki sam zbiór rozwiązań.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem pierwszego równania, które rozwiążemy korzystając z własności wartości bezwzględnej.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 = 0$

$(x + 1)^{2} = 4$

$\sqrt{(x + 1)^{2}} = 2$

$| x + 1 | = 2$

Uwzględniając równanie $| x - a | = b$ możemy powiedzieć, że $a = - 1$ i $b = 2$ .

Aby równania posiadały taki sam zbiór rozwiązań $a = - 1$ i $b = 2$ .

Przykład 5

Obliczymy taką wartość parametru $a$ , aby równanie $(x + a) + 6 (x + a)^{2} = 0$ miało podwójny pierwiastek.

$(x + a) + 6 (x + a)^{2} = 0$

$(x + a) [1 + 6 (x + a)] = 0$

$(x + a) (6 x + 6 a + 1) = 0$

$(x + a) = 0$ lub $(6 x + 6 a + 1) = 0$

$x = - a$ lub $x = \frac{- 6 a - 1}{6}$

Aby równanie miało podwójny pierwiastek musi zachodzić warunek $- a = \frac{- 6 a - 1}{6}$ .

$6 a = 6 a + 1$

$0 = 1$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Zatem nie istnieje taka wartość parametru $a$ , dla której równanie ma podwójny pierwiastek.

Słownik

liczba spełniająca równanie

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik