Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą z nierówności  postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy nierówność $x\left(x-5\right)\left(x+2\right)>0$.

Lewa strona nierówności jest wielomianem zapisanym w postaci iloczynowej

$W\left(x\right)=x\left(x-5\right)\left(x+2\right)$.

Obliczamy pierwiastki wielomianu.

$x\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0$

$x=0$ lub $x-5=0$ lub $x+2=0$

$x=0$ lub $x=5$ lub $x=-2$

Szkicujemy wykres wielomianu.

RwGfb0uB8i1dR

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-2; 0; 5$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się pod osią, w punkcie minus dwa przechodzi nad oś i wraca pod oś w zerze. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od zera do piątki wykres przebiega pod osią i w piątce przechodzi nad oś, co również zasygnalizowano plusami.

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że $x\in \left(-2, 0\right)\cup \left(5, \infty \right)$.

Obliczymy zbiór rozwiązań nierówności $x^4-4x^3+3x^2\ge 0$.

Wyłączymy $x^2$ przed nawias, aby otrzymać postać iloczynową nierównościpostać iloczynowa nierównościpostać iloczynową nierówności

$x^2\left(x^2-4x+3\right)\ge 0$

Ze wzorów Viete’a łatwo zauważymy, że liczby $1$ i $3$ są miejscami zerowymi trójmianu kwadratowego $x^2-4x+3$.

$x^2\left(x-1\right)\left(x-3\right)\ge 0$.

Szkicujemy wykres wielomianu $W\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-3\right)$, a następnie z wykresu odczytamy dla jakich $x$ wartość wielomianu $W\left(x\right)$ jest nieujemna.

R1JZETPoZBa2s

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $0; 1; 3$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze odbija się od osi i dalej biegnie nad nią do jedynki, gdzie przebija pod oś. Pod osią wykres biegnie od jeden do trzech, przyz czy w trójce wraca nad oś. Fragmenty, w których wykres przebiega nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zauważymy, że $x=0$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$.

Zatem wykres wielomianu nie przecina osi $X$, ale jest do niej styczny.

$x\in \left(-\infty , 1\right.⟩\cup \left.⟨3, \infty \right)$

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , 1\right.⟩\cup \left.⟨3, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $-{\left(x-1\right)}^2{\left(x+3\right)}^3\left(x^2-4\right)<0$.

Zapiszemy nierówność w postaci iloczynowej.

$-{\left(x-1\right)}^2{\left(x+3\right)}^3\left(x-2\right)\left(x+2\right)<0$

Podamy teraz miejsca zerowe wielomianu $W\left(x\right)=-{(x-1)}^2{(x+3)}^3(x-2)(x+2)$.

${\left(x-1\right)}^2=0$ lub ${\left(x+3\right)}^3=0$ lub $x-2=0$ lub $x+2=0$

$x=1$ lub $x=-3$ lub $x=2$ lub $x=-2$

Określimy krotność pierwiastków:

$\left(-3\right)$ – pierwiastek trzykrotny

$\left(-2\right)$ – pierwiastek jednokrotny

$1$ – pierwiastek dwukrotny

$2$ – pierwiastek jednokrotny

Wykres szkicujemy od prawej strony i od dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze $x$ jest ujemny $\left(a_7=-1\right)$.

Zauważymy, że dla pierwiastka dwukrotnego $x=1$ wykres wielomianu jest styczny do osi $X$, natomiast dla pierwiastka trzykrotnego $x=-3$ wykres wielomianu przecina oś $X$.

R5Um5iUmGF8ts

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-3; -2; 1; 2$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią, w minus trójce przebija pod oś i w minus dwójce wraca nad oś. Od minus dwójki do jedynki wykres przebiega nad osią, w jedynce odbija się i dalej biegnie nad nią do dwójki, gdzie przebija pod oś. Fragmenty, w których wykres przebiega pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

$x\in \left(-3, -2\right)\cup \left(2, \infty \right)$

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-3, -2\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $3·\left(x+2\right)\le x\left(x+2\right)$.

$3·\left(x+2\right)-x\left(x+2\right)\le 0$

$\left(x+2\right)\left(3-x\right)\le 0$

$x=-2$ lub $x=3$

$a_2=-1$

Wykres funkcji wielomianowej $y=\left(x+2\right)\left(3-x\right)$ zaczniemy rysować od prawej strony i od dołu.

R1OdFu4Icbu2N

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-2; 3$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się pod osią, w minus dwójce przebija nad oś i biegnie nad osią do trójki, gdzie wraca pod oś. Fragmenty, w których wykres przebiega pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Wielomian jest stopnia $2$, więc potrafimy już naszkicować jego wykres.

Jest to parabola, której ramiona są skierowane „do dołu”.

$x\in \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨3, \infty \right)$

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨3, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $\left(x^3-27\right)\left(x^2-9\right)\left(x^3+3x^2\right)<0$.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias otrzymamy:

$\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)x^2\left(x+3\right)<0$

Obliczymy miejsce zerowe wielomianu

$W\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)x^2\left(x+3\right)$

$x^2{\left(x-3\right)}^2{\left(x+3\right)}^2\left(x^2+3x+9\right)=0$

$x^2=0$ lub ${\left(x-3\right)}^2=0$ lub ${\left(x+3\right)}^2=0$ lub $x^2+3x+9=0$

$x=0$ (podwójny) lub $x=3$ (podwójny) lub $x=-3$ (podwójny) lub $∆=-27<0$ (brak pierwiastków)

R1YEHTgSBNpQf

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-3; 0; 3$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią, w minus trójce odbija i biegnie dalej nad osią do zera, gdzie znowu odbija i biegnie nad osią do trójki, gdzie odbija po raz kolejny i dalej biegnie nad osią do plus nieskończoności.

$x\in \varnothing$

Nierówność nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy nierówność $\left(x^3-27\right)\left(x^2-9\right)\left(x^3+3x^2\right)\le 0$.

Korzystając z rozwiązania z przykładu $5$ możemy naszkicować wykres.

R1VVBRsIZC5WT

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-3; 0; 3$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią, w minus trójce odbija i biegnie dalej nad osią do zera, gdzie znowu odbija i biegnie nad osią do trójki, gdzie odbija po raz kolejny i dalej biegnie nad osią do plus nieskończoności.

$x\in \left\{-3, 0, 3\right\}$.

każda z nierówności  postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$

zapisanie nierówności za pomocą iloczynu sum algebraicznych, w których niewiadoma jest jak najniższego  stopnia