Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Wszystkie wzory na funkcje podwojonego argumentu wyprowadzimy ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów. Zatem przypomnijmy te wzory.

sinus sumy argumentów
Twierdzenie: sinus sumy argumentów
sinx+y=sinx·cosy+cosx·siny, dla x,y
cosinus sumy argumentów
Twierdzenie: cosinus sumy argumentów
cosx+y=cosx·cosy-sinx·siny, dla x,y
tangens sumy argumentów
Twierdzenie: tangens sumy argumentów

Załóżmy, że xπ2+kπ, yπ2+kπ, x+yπ2+kπ, gdzie k. Wówczas

tgx+y=tgx+tgy1tgxtgy

Zatem wyprowadźmy wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu.

Sinus podwojonego argumentu

Zapiszemy sin2x jako sinx+x i skorzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówsinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za y=x.

sin2x=sinx+x=sinxcosx+sinxcosx=2sinxcosx

Stąd otrzymujemy wzór

sin2x=2sinxcosx.

Cosinus podwojonego argumentu

Zapiszemy cos2x jako cosx+x i skorzystamy ze wzoru na cosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za y=x.

cos2x=cosx+x=cosxcosx-sinxsinx=cos2x-sin2x

Stąd otrzymujemy wzór

cos2x=cos2x-sin2x.

Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej możemy wzór na cosinus podwojonego argumentu zapisać w dwóch innych, przydatnych postaciach:

  • cos2x=cos2x-sin2x=(1-sin2x)-sin2x=1-2sin2x,

  • cos2x=cos2x-sin2x=cos2x-(1-cos2x)=2cos2x-1.

Tangens podwojonego argumentu

Zapiszemy tg2x jako tgx+x i skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentówtangens sumy argumentówtangens sumy argumentów podstawiając we wzorze za y=x.

tg2x=tgx+x=tgx+tgx1tgxtgx=2tgx1tg2x

Stąd otrzymujemy wzór

t g 2 x = 2 t g x 1 t g 2 x ,

dla xπ4+kπ2xπ2+kπ, gdzie k.

funkcje podwojonego argumentu
Twierdzenie: funkcje podwojonego argumentu
  • sin2x=2sinxcosx, dla x

  • cos2x=cos2x=sin2x=1-2sin2x=2cos2x-1, dla x

  • tg2x=2tgx1tg2x, dla xπ4+kπ2xπ2+kπ, gdzie k

Przykład 1

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 15°.

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 30° jako kąta 2·15°.

32=cos30°=cos2·15°=2cos215°-1

32=2cos215°-1

32+1=2cos215°

32+12=cos215°

Ponieważ kąt 15° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem cos15° jest liczbą dodatnią. Zatem

cos15°=32+12.

Zapiszemy inaczej wartość cos15°.

32+12=34+12=23+48=3+128=3+122=6+24

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 30° jako kąta 2·15°.

32=cos30°=cos2·15°=1-2sin215°

32=1-2sin215°

1-32=2sin215°

1-322=sin215°

Ponieważ kąt 15° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem sin15° jest liczbą dodatnią. Zatem

sin15°=1-322.

Zapiszemy inaczej wartość sin15°.

1-322=12-34=4-238=3-128=3-122=6-24

3. Obliczymy tangens 15° jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus 15° i wartości funkcji cosinus 15°.

tg15°=sin15°cos15°=6-246+24=6-26+2=

=6-26-26+26-2=6-226-2=6-262+24=2-3

Przykład 2

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 22,5°.

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 45° jako kąta 2·22,5°.

22=cos45°=cos222,5°=2cos222,5°1

22=2cos222,5°1

22+1=2cos222,5°

22+12=cos222,5°

Ponieważ kąt 22,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem cos22,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

cos22,5°=22+12.

Zapiszemy inaczej wartość cos22,5°:

22+12=24+12=2+24=2+22.

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 45 jako kąta 2·22,5°:

22=cos45°=cos222,5°=12sin222,5°

22=12sin222,5°

122=2sin222,5°

1222=sin222,5°

Ponieważ kąt 22,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem sin22,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

sin22,5°=1222.

Spróbujemy zapisać inaczej wartość sin22,5°:

1222=1224=224=222.

3. Obliczymy tangens 22,5° jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus 22,5° i wartości funkcji cosinus 22,5°:

tg22,5°=sin22,5°cos22,5°=2-222+22=2-22+2=

=2-22+2=(2-2)22=6-422=

=3-22=2-12=2-1.

Przykład 3

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 7,5°.

  1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 15° jako kąta 2·7,5°.

6+24=cos15°=cos27,5°=2cos27,5°1

6+24=2cos27,5°1

6+24+1=2cos27,5°

6+2+48=cos27,5°

Ponieważ kąt 7,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem cos7,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

cos7,5°=6+2+48.

  1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 15° jako kąta 2·7,5°:

6+24=cos15°=cos27,5°=12sin27,5°

6+24=12sin27,5°

16+24=2sin215°

4628=sin27,5°

Ponieważ kąt 7,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem sin7,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

sin7,5°=4628.

  1. Obliczymy tangens 7,5° jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus 7,5° i wartości funkcji cosinus 7,5°:

tg7,5°=sin7,5°cos7,5°=46284+6+28=4624+6+2.

Przykład 4

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kątów 67,5°, 75°, 82,5°.

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych prawdziwych dla kątów ostrych:

sin90°-x=cosx

cos90°-x=sinx

tg90°-x=1tgx

Zatem możemy zapisać zależności dla poszukiwanych kątów:

sin67,5°=cos22,5°

cos67,5°=sin22,5°

tg67,5°=1tg22,5°

sin75°=cos15°

cos75°=sin15°

tg75°=1tg15°

sin82,5°=cos7,5°

cos82,5°=sin7,5°

tg82,5°=1tg7,5°

Wyniki możemy zapisać w tabeli:

α

7,5°

15°

22,5°

67,5°

75°

82,5°

sinα

4-6-28

6-24

2-22

2+22

6 + 2 4

4+6+28

cosα

4+6+28

6+24

2 + 2 2

2 2 2

6-24

4-6-28

tgα

4-6-24+6+2

2-3

2-1

2+1

2+3

4+6+24-6-2

Słownik

jedynka trygonometryczna
jedynka trygonometryczna

sin2x+cos2x=1

sinus sumy argumentów
sinus sumy argumentów

sin x+y=sinx·cosy+cosx·siny, dla x,y

cosinus sumy argumentów
cosinus sumy argumentów

cos x+y=cosx·cosy-sinx·siny, dla x,y

tangens sumy argumentów
tangens sumy argumentów

tgx+y=tgx+tgy1tgxtgy, dla xπ2+kπ, yπ2+kπ, x+yπ2+kπ, gdzie k