Na lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: $\sin x>a$, $\sin x<a$, $\sin x\le a$, $\sin x\ge a$, gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu $\sin x=a$. Przypomnijmy stosowne twierdzenie:

Rozważmy przypadki:

1. Niech $a<-1$. Wówczas nierówność $\sin x>a$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

2. Niech $a\ge 1$. Wówczas rozwiązaniem nierówności $\sin x>a$ jest zbiór pusty.

3. Niech $a\in ⟨-1,1)$.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$. Dlaczego wybieramy taki przedział? Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji sinus jest $T=2\pi$, a wybrany przedział ma długość $2\pi$. Po drugie, jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności $\sin x>a$ będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); dzięki temu dostaniemy wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

R13IiEyc3JaQP

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi pół do trzech drugich pi oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest sinusoida oraz pozioma prosta o równaniu y równa się a, przy czym a jest bliskie minus jednej drugiej. Zaznaczone są dwa punkty przecięcia obu wykresów, po lewej stronie jest to punkt o współrzędnych $\left(x_1; a\right)$ oraz po prawej stronie punkt o współrzędnych $\left(x_2; a\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tych punktów na oś X. Na osi X, pomiędzy rzutami, zaznaczony jest odcinek otwarty. Część sinusoidy leżąca nad poziomą prostą jest pomarańczowa, a pod prostą zielona.

Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność $\sin x>a$, będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja $y=\sin x$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $y=a$.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji $y=\sin x$, który leży powyżej prostej $y=a$. Zauważmy, że prosta $y=a$ przecina wykres funkcji $y=\sin x$ w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to $x_1$ i $x_2$ - są to rozwiązania równania $\sin x=a$.

Zatem w przedziale $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$ funkcja $y=\sin x$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $y=a$ dla argumentów $x\in (x_1,x_2)$.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności $\sin x>a$: jest to suma wszystkich przedziałów $(x_1+2k\pi ,x_2+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $\sin x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

R1Qvdu4ZPxrWo

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi pół do trzech drugich pi oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest sinusoida oraz pozioma prosta o równaniu y równa się minus pierwiastek z trzech przez dwa. Zaznaczone są dwa punkty przecięcia obu wykresów, po lewej stronie jest to punkt o współrzędnych $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tego punktu na oś X. Drugi punkt przecięcia wykresów to punkt po prawej stronie o współrzędnych $\left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tego punktu na oś X. Na osi X, pomiędzy rzutami, zaznaczony jest odcinek otwarty. Część sinusoidy leżąca nad poziomą prostą jest pomarańczowa, a pod prostą zielona.

Najpierw, korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego $\sin x=a$o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego $\sin x=a$twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego $\sin x=a$ rozwiązujemy równanie $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ w przedziale $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$: $x=-\frac{\pi }{3}$ lub $x=\frac{4\pi }{3}$.

Zatem w przedziale $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$ rozwiązaniem nierówności $\sin x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$ jest przedział $(-\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3})$.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności $\sin x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$: jest to suma wszystkich przedziałów $(-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{4\pi }{3}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozważmy przypadki:

1. Niech $a>1$. Wówczas nierówność $\sin x<a$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

2. Niech $a\le -1$. Wówczas rozwiązaniem nierówności $\sin x<a$ jest zbiór pusty.

3. Niech $a\in (-1,1⟩$.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale $⟨-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$. Dlaczego wybieramy taki przedział? Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji sinus jest $T=2\pi$, a wybrany przedział ma długość $2\pi$. Po drugie, jak zobaczymy na poniższym rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności $\sin x<a$ będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); dzięki temu uzyskamy wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

RLur5miLhtjxN

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech drugich pi do pi pół oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest sinusoida oraz pozioma prosta o równaniu y równa się a, przy czym a jest dowolną liczbą z przedziału . Tu akurat a bliskie jest jednej drugiej. Zaznaczone są dwa punkty przecięcia obu wykresów: po lewej stronie jest to punkt o współrzędnych $\left(x_1; a\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tego punktu na oś X. Drugi punkt przecięcia wykresów to punkt po prawej stronie o współrzędnych $\left(x_2; a\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tego punktu na oś X. Na osi X, pomiędzy rzutami, zaznaczony jest odcinek otwarty. Część sinusoidy leżąca nad poziomą prostą jest zielona, a pod prostą pomarańczowa.

Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność $\sin x<a$, będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja $y=\sin x$ przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji $y=a$.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji $y=\sin x$, który leży poniżej prostej $y=a$. Zauważmy, że prosta $y=a$ przecina wykres funkcji w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to $x_1$ i $x_2$ - są to rozwiązania równania $\sin x=a$.

Zatem w przedziale $⟨-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$ funkcja $y=\sin x$ przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji $y=a$ dla argumentów $x\in (x_1,x_2)$.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności $\sin x>a$: jest to suma wszystkich przedziałów $(x_1+2k\pi ,x_2+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

R1QssQZ8WY26z

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech drugich pi do pi pół oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest sinusoida oraz pozioma prosta o równaniu y równa się pierwiastek z dwóch przez dwa. Zaznaczone są dwa punkty przecięcia obu wykresów, po lewej stronie jest to punkt o współrzędnych $\left(-\frac{5\pi }{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tego punktu na oś X. Drugi punkt przecięcia wykresów to punkt po prawej stronie o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Linią przerywaną narysowany jest także rzut tego punktu na oś X. Na osi X, pomiędzy rzutami, zaznaczony jest odcinek otwarty. Część sinusoidy leżąca nad poziomą prostą jest zielona, a pod prostą pomarańczowa.

Najpierw, korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego $\sin x=a$o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego $\sin x=a$twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego $\sin x=a$, rozwiązujemy równanie $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ w przedziale $⟨-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$: $x=-\frac{5\pi }{4}$ lub $x=\frac{\pi }{4}$.

Zatem w przedziale $⟨-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$ rozwiązaniem nierówności $\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ jest przedział $(-\frac{5\pi }{4},\frac{\pi }{4})$.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności $\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych: jest to suma wszystkich przedziałów $(-\frac{5\pi }{4}+2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Słownik