Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1

Rozwiążemy nierówność x+2+4x-2>5.

Najpierw zapiszemy wyrażenie x+2 korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

x+2=x+2,dla x-2-x+2,dla x<-2.

Analogicznie

4x-2=4x-2,dla x12-4x-2,dla x<12.

Przedstawimy teraz, jak zmieniają się znaki wartości bezwzględnej w wyznaczonych przedziałach na osi liczbowej.

RhfgHoDZuNSJl

1. Jeśli x-, -2, to nierówność jest postaci

-x+2-4x-2>5

-x-2-4x+2>5

-5x>5

x<-1.

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy x-, -2.

2. Jeśli x-2, 12, to nierówność jest postaci

x+2-4x-2>5

x+2-4x+2>5

-3x>5-4

-3x>1

x<-13.

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy x-2, -13.

3. Jeśli x12,  , to nierówność jest postaci

x+2+4x-2>5

5x>5

x>1.

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy x1, .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności:  x-, -131, .

Przykład 2

Wykażemy, że zbiorem rozwiązań nierówności 2+25-10x+x2>x-5 jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że

25-10x+x2=5-x2=5-x.

Zatem nierówność zapiszemy w postaci 2+5-x>x-5.

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej

a-b=b-a,

czyli mamy

2+5-x>5-x

2>0.

Jest to nierówność zawsze prawdziwa. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 3

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór

A=x, y2: x-5+x+3>10 i y-2+y+4>10.

Zbiorem rozwiązań nierówności będzie zbiór punktów, których odcięte spełniają pierwszą nierówność, a rzędne drugą nierówność.

Aby zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiór rozwiązań nierówności, rozwiążemy najpierw każdą nierówność oddzielnie.

Najpierw znajdziemy zbiór rozwiązań nierówności

x-5+x+3>10

1. Jeśli x-, -3, to nierówność jest postaci

-x-5-x+3>10

-x+5-x-3>10

-2x>8

x<-4.

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy x-, -4.

2. Jeśli x-3, 5, to nierówność jest postaci

-x-5+x+3>10

-x+5+x+3>10

8>10.

Otrzymaliśmy nierówność sprzecznąnierówność sprzecznanierówność sprzeczną. Zatem x.

3. Jeśli x5,  to nierówność jest postaci

x-5+x+3>10

2x>12

x>6.

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy x6, .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności:  x-, -46, .

Teraz w analogiczny sposób zajmiemy się rozwiązaniem nierówności

y-2+y+4>10.

1. Jeśli y-, -4 to nierówność jest postaci

-y-2-y+4>10

-y+2-y-4>10

-2y>12

y<-6.

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy y-, -6.

2. Jeśli y-4, 2 to nierówność jest postaci

-y-2+y+4>10

-y+2+y+4>10

6>12.

Otrzymaliśmy nierówność sprzecznąnierówność sprzecznanierówność sprzeczną. Zatem y.

3. Jeśli y2,  to nierówność jest postaci

y-2+y+4>10

2y>8

y>4.

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy y4, .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności to:  y-, -64, .

Następnie zaznaczymy w układzie współrzędnych otrzymane rozwiązania. Punkty należące do „zakolorowanych” dwoma kolorami obszarów spełniają obie nierówności.

RYVk5feSrsEdE

Słownik

nierówność sprzeczna
nierówność sprzeczna

nierówność, która nie jest spełniona przez żadną liczbę należącą do dziedziny tej nierówności