Przeczytaj

Ciągi liczbowe możemy opisywać słownie, za pomocą wzoru, tabelki, wykresu, czy wypisując jego wyrazy (w przypadku ciągów skończonych). Na podstawie opisu ciągu, można odkryć niektóre własności tego ciągu.

Ciąg liczbowy

Definicja: Ciąg liczbowy

Ciąg, w którym wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym.

Ciąg liczbowy skończony

Definicja: Ciąg liczbowy skończony

Ciągiem skończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze $\{1, 2, 3, . . ., n\}$ .

Przykład 1

Poznamy teraz ciąg liczbowyciąg liczbowyciąg liczbowy $(M_{n})$ , zwany ciągiem Mersenne'a, na cześć jego odkrywcy Marina Mersenne. Ciąg ten można opisać wzorem rekurencyjnym.

$\{\begin{cases} M_{1} = 1 \\ M_{2} = 3 \\ M_{n + 2} = 3 M_{n + 1} - 2 M_{n} & dla n \geq 1 \end{cases}$

Aby znaleźć wzór ogólny ciągu, zapiszemy najpierw kilka początkowych jego wyrazów i zaobserwujemy regułę, według której są tworzone.

$M_{1} = 1 = 2^{1} - 1$

$M_{2} = 3 = 2^{2} - 1$

$M_{3} = 7 = 2^{3} - 1$

$M_{4} = 15 = 2^{4} - 1$

$M_{5} = 31 = 2^{5} - 1$

Wzór ogólny ciągu:

$M_{n} = 2^{n} - 1$ , gdzie $n \geq 1$

Wykażemy, że ciąg $(M_{n})$ jest rosnący.

$M_{n + 1} - M_{n} = 2^{n + 1} - 1 - 2^{n} + 1 = 2^{n} > 0$

Wyrazy ciągu są dodatnie i różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia, zatem ciąg jest rosnący. Wynika z tego, że najmniejszy wyraz ciągu to $1$ , a największego wyrazu ciąg nie posiada.

Określimy ile wyrazów ciągu jest mniejszych od $99999$ .

$2^{n} - 1 < 99999$

$2^{n} < 100000$

$n \cdot \log 2 < \log 100000$

$n \cdot \log 2 < 5$

$n < \frac{5}{\log 2}$

$\log 2 \approx 0, 3$

$n < \frac{5}{0, 3}, \frac{5}{0, 3} \approx 16, 7$

$n < 16, 7$

Największa liczba naturalna $n$ spełniająca tę nierówność to $16$ . Zatem szesnaście wyrazów ciągu jest mniejszych od $99999$ .

Ciąg Mersenne'a odegrał znamienitą rolę w historii poszukiwania liczb pierwszych, bowiem Marin Mersenne ustalił, że jeśli $n \leq 257$ , to liczba $2^{n} - 1$ jest liczbą pierwszą tylko dla $n = 2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $13$ , $17$ , $19$ , $31$ , $67$ , $127$ , $257$ . Dopiero po $200$ latach odkryto błędy w stwierdzeniu Mersenne'a i skorygowano jego obliczenia. Mersenne błędnie do liczb pierwszych zaliczył liczby $2^{67} - 1$ i $2^{257} - 1$ , a pominął trzy inne liczby.

Liczby Mersenne'a występują we wzorze, który generuje liczby doskonałe. Zatem odkryciu nowej liczby pierwszej Mersenne'a towarzyszy odkrycie nowej liczby doskonałej.

Przykład 2

Liczbę pierwszą nazywamy absolutną, gdy jest liczbą pierwszą przy każdym przestawieniu jej cyfr.

Rozważmy ciąg $(p_{n})$ , którego wyrazy są trzycyfrowymi liczbami absolutnie pierwszymi.

Udowodnimy, że wyrazy tego ciągu mogą składać się tylko z cyfr $1$ , $3$ , $7$ , $9$ .

Niech $p$ będzie liczbą trzycyfrową absolutnie pierwszą. Cyfrą tej liczby nie może być ani $2$ , ani $4$ , ani $6$ , ani $8$ gdyż po przestawieniu tej cyfry na miejsce cyfry jedności, otrzymujemy liczbę parzystą trzycyfrową, zatem złożoną. Podobnie cyfrą jedności nie może być $5$ . Zatem jedyne cyfry, z których może składać się liczba $p$ to $1$ , $3$ , $7$ , $9$ , co należało wykazać.

Można też udowodnić, że nie ma takiej liczby absolutnie pierwszej, w zapisie dziesiętnym której występują trzy różne cyfry.

Zatem

$p_{n} = (113, 131, 311, 337, 373, 733, 199, 919, 991)$ .

Przykład 3

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{4^{n} - 1}{3}$ . Wykażemy, że tylko jeden wyraz tego ciągu jest liczbą pierwszą.

Obliczamy początkowe wyrazy ciągu.

$a_{1} = \frac{4 - 1}{3} = 1$

$a_{2} = \frac{16 - 1}{3} = 5$

$a_{3} = \frac{64 - 1}{3} = 21$

$a_{4} = \frac{256 - 1}{3} = 85$

Zauważmy, że wśród wyznaczonych liczb jest liczba pierwsza – jest to wyraz $a_{2}$ . Musimy więc udowodnić, że dla $n > 2$ każda liczba postaci $\frac{4^{n} - 1}{3}$ jest złożona.

Przekształcamy wzór ciągu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

$a_{n} = \frac{4^{n} - 1}{3}$

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot (4^{n} - 1) = \frac{1}{3} (2^{n} - 1) (2^{n} + 1)$

Reszta z dzielenia liczby $2^{n}$ przez $3$ może być równa $1$ lub $2$ .

Jeśli liczba $2^{n}$ w dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ , to jest postaci $3 k + 1$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną dodatnią.
Wtedy: $2^{n} - 1 = 3 k + 1 - 1 = 3 k$ .
Liczba $2^{n} - 1$ jest więc wielokrotnością liczby $3$ , zatem liczba $a_{n}$ jest liczbą całkowitą, podzielną przez $2^{n} + 1$ , jest więc liczbą złożoną.

Jeśli liczba $2^{n}$ w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ , to jest postaci $3 k + 2$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną dodatnią.
Wtedy: $2^{n} + 1 = 3 k + 2 + 1 = 3 (k + 1)$ .
Liczba $2^{n} + 1$ jest więc wielokrotnością liczby $3$ , zatem liczba $a_{n}$ jest liczbą całkowitą, podzielną przez $2^{n} - 1$ , jest więc liczbą złożoną.

Zatem istotnie, jedyna liczba pierwsza, będąca wyrazem ciągu, to $5$ .

Przykład 4

Wykażemy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$ jest malejący.

Zauważmy, że wyrazy ciągu $(a_{n})$ dla wszystkich $n \geq 1$ są dodatnie. Zatem, aby wykazać, że ciąg jest malejący, możemy określić znak ilorazu $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ .

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)!}{{(n + 1)}^{n + 1}} \cdot \frac{n^{n}}{n!}$

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1) \cdot n!}{{(n + 1)}^{n} \cdot (n + 1)} \cdot \frac{n^{n}}{n!}$

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} < 1$ dla wszystkich $n \geq 1$

Wynika z tego, że $a_{n + 1} < a_{n}$ dla wszystkich $n \geq 1$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest malejący.

Mówimy, że ciąg $(a_{n})$ jest ograniczony z dołu, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista $m$ , że nierówność $m \leq a_{n}$ jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ .

Mówimy, że ciąg $(a_{n})$ jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista $M$ , że nierówność $a_{n} \leq M$ jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ .

Ciąg jest ograniczony, jeżeli jest ograniczony z dołu i z góry.

Przykład 5

Wykażemy, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + . . . + \frac{1}{2 n}$ jest ograniczony.

Wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, zatem ciąg ograniczony jest z dołu na przykład liczbą $0$ , czyli $m = 0$ .

$a_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + . . . + \frac{1}{2 n}$

$a_{n} \leq \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} + . . . + \frac{1}{n + 1}$

$a_{n} \leq \frac{n}{n + 1} < 1$

Ciąg jest ograniczony z góry na przykład liczbą $1$ , czyli $M = 1$ .

$m < a_{n} < M$

$0 < a_{n} < 1$

Ciąg $(a_{n})$ jest ograniczony z dołu i z góry, jest zatem ograniczony, co należało wykazać.

Słownik

ciąg liczbowy

ciąg, w którym wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik