Przeczytaj

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $π - α$ , gdzie $α \in (0; \frac{π}{2})$ . Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w I ćwiartce układu), kąt o mierze $π - α$ jest rozwarty (drugie ramię leży w II ćwiartce układu).

RNFZFNllYmFyq

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma X zaznaczona jest od minus 6 do 7, natomiast oś pionowa od minus 2 do pięć. Na układ naniesiono ukośną półprostą. Półprosta zawarta jest w pierwszej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt A o współrzędnych x;y, następnie rzutowano go na obie osie. Odcinek O A ma długość r. W ten sposób otrzymaliśmy punkt P1, znajdujący się na osi X. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Wykonano odbicie symetryczne półprostej względem osi Y, otrzymano punkty A prim o współrzędnych minus x;y oraz punkt P1. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od ujemnej półosi O X, do półprostej otrzymanej z odbicia. Ten kąt również wynosi alfa. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z dodatniej półosi O X do półprostej otrzymanej z odbicia, wynosi on π - α.

Na drugim ramieniu kąta $α$ wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x; y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $π - α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A^{'} O P_{2}$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A^{'} O P_{2}$ oraz $A O P_{1}$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(- x; y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą poniższe równości.

$\sin α = \frac{y}{r}$	$\sin (π - α) = \frac{y}{r}$
$\cos α = \frac{x}{r}$	$\cos (π - α) = \frac{- x}{r} = - \frac{x}{r}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$tg (π - α) = \frac{y}{- x} = - \frac{y}{x}$

Otrzymujemy zatem równości:

$\sin (π - α) = \sin α$ ,

$\cos (π - α) = - \cos α$ ,

$tg (π - α) = - tg α$ .

Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego $α$ , to wzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla którego określona jest funkcja tangens.

Przykład 1

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.

a) $\sin \frac{2 π}{3} = \sin (π - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos \frac{5 π}{6} = \cos (π - \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $tg \frac{3 π}{4} = tg (π - \frac{π}{4}) = - tg \frac{π}{4} = - 1$

Przykład 2

Korzystając z tablic trygonometrycznych, obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze $\frac{4 π}{5}$ .

$α [°]$	$\sin α$ $\cos β$	$tg α$	$β [°]$
$0$	$0, 0000$	$0, 0000$	$90$
$1$	$0, 0175$	$0, 0175$	$89$
$2$	$0, 0349$	$0, 0349$	$88$
...
$7$	$0, 1219$	$0, 1228$	$83$
$8$	$0, 1392$	$0, 1405$	$82$
$9$	$0, 1564$	$0, 1584$	$81$
...
$35$	$0, 5736$	$0, 7002$	$55$
$36$	$0, 5878$	$0, 7265$	$54$
$37$	$0, 6018$	$0, 7536$	$53$
...
$46$	$0, 7193$	$1, 0355$	$44$
$47$	$0, 7314$	$1, 0724$	$43$
$48$	$0, 7431$	$1, 1106$	$42$
...
$53$	$0, 7986$	$1, 3270$	$37$
$54$	$0, 8090$	$1, 3764$	$36$
$55$	$0, 8192$	$1, 4281$	$35$
...
$81$	$0, 9877$	$6, 3138$	$9$
$82$	$0, 9903$	$7, 1154$	$8$
$83$	$0, 9925$	$8, 1443$	$7$

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że $\frac{4 π}{5} = π - \frac{π}{5}$ .

Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze $\frac{π}{5}$ , które odczytujemy z tablic trygonometrycznych. Kąt o mierze łukowej równej $\frac{π}{5}$ ma miarę stopniową równą $36 °$ .

Stąd mamy:

$\sin \frac{π}{5} \approx 0, 5878, \cos \frac{π}{5} \approx 0, 8090, tg \frac{π}{5} \approx 0, 7265$ .

Zatem:

$\sin \frac{4 π}{5} = \sin (π - \frac{π}{5}) = \sin \frac{π}{5} \approx 0, 5878$ ,

$\cos \frac{4 π}{5} = \cos (π - \frac{π}{5}) = - \cos \frac{π}{5} \approx - 0, 8090$ ,

$tg \frac{4 π}{5} = tg (π - \frac{π}{5}) = - tg \frac{π}{5} \approx - 0, 7265$ .

Przykład 3

Wykażemy, że jeśli $α, β, γ$ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość $\sin \frac{α}{2} = \cos \frac{β + γ}{2}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $α, β, γ$ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, więc

$α + β + γ = π$ .

Zatem $β + γ = π - α$ .

Podstawmy teraz $π - α$ zamiast $β + γ$ do prawej strony tezy:

$\cos \frac{β + γ}{2} = \cos \frac{π - α}{2} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{α}{2})$ .

Przypomnijmy, że z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym zachodzą tożsamości:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ,

$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ ,

$tg (\frac{π}{2} - x) = ctg x = \frac{1}{tg x}$ , gdzie $x \in (0; \frac{π}{2})$ .

Zauważmy, że $α$ jako miara kąta wewnętrznego trójkąta należy do przedziału $(0; π)$ , zatem $\frac{α}{2} \in (0; \frac{π}{2})$ .

Po zastosowaniu drugiej z przytoczonych tożsamości do naszego zadania, otrzymujemy $\cos (\frac{π}{2} - \frac{α}{2}) = \sin \frac{α}{2}$ , co kończy dowód.

Tożsamości użyte w powyższym przykładzie wynikają wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, ale prawdziwe są również dla kąta $α$ o dowolnej mierze (o ile funkcja tangens jest określona i nie przyjmuje wartości zero). Zauważ, że powyższe wzory mają budowę analogiczną do wzorów redukcyjnych (choć najczęściej niczego nie redukują).

Odnotujmy je poniżej, ponieważ będziemy korzystać z nich równie często jak z pozostałych wzorów omawianych w tej lekcji:

\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x,

\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x,

tg (\frac{π}{2} - x) = ctg x = \frac{1}{tg x}

dla

x \neq k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ .

Przykład 4

Wiadomo, że $x \in (0; \frac{π}{2})$ oraz $\frac{3 \sin x}{- \cos (π - x)} + \frac{\cos x}{\sin (\frac{π}{2} - x)} = 2$ . Obliczymy wartość wyrażenia $tg x + \frac{1}{tg x}$ .

Rozwiązanie

Przekształcimy równość daną w założeniu, korzystając z tożsamości $\cos (π - x) = - \cos x$ oraz $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

$\frac{3 \sin x}{- \cos (π - x)} + \frac{\cos x}{\sin (\frac{π}{2} - x)} = 2$

$\frac{3 \sin x}{- (- \cos x)} + \frac{\cos x}{\cos x} = 2$

$\frac{3 \sin x}{\cos x} + 1 = 2$

$\frac{3 \sin x}{\cos x} = 1$

Skorzystamy z tożsamości $\frac{\sin x}{\cos x} = tg x$ udowodnionej już dla każdego kąta $x$ o mierze z przedziału $(0; \frac{π}{2})$ , ale prawdziwej również dla każdego $x \neq \frac{π}{2} + k \cdot π$ , dla $k \in ℤ$ .

$3 tg x = 1$

$tg x = \frac{1}{3}$

Zatem mamy, że

$tg x + \frac{1}{tg x} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$ .

Przykład 5

Wiadomo, że $x \in (0; \frac{π}{2})$ oraz $\frac{\sin (π - x)}{\sin (\frac{π}{2} - x)} + \frac{tg (π - x)}{tg x} = 3$ . Obliczymy $\cos x$ .

Rozwiązanie

Przekształcimy równość podaną w założeniu, korzystając kolejno ze wzorów:

$\sin (π - x) = \sin x$ ,

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ,

$tg (π - x) = - tg x$ .

Podstawimy przekształcenia do wzoru.

$\frac{\sin (π - x)}{\sin (\frac{π}{2} - x)} + \frac{tg (π - x)}{tg x} = 3$

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{- tg x}{tg x} = 3$

$\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 3$

$\frac{\sin x}{\cos x} = 4$

$\sin x = 4 \cos x$

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , udowodnionej już dla każdego kąta $x$ o mierze z przedziału $(0; \frac{π}{2})$ , ale prawdziwej również dla każdego $x \in ℝ$ .

$\sin x = 4 \cos x$

${(4 \cos x)}^{2} + \cos^{2} x = 1$

$16 \cos^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$17 \cos^{2} x = 1$

$\cos^{2} x = \frac{1}{17}$

Ponieważ $x$ jest miarą kąta ostrego, więc jego cosinus jest dodatni: $\cos x = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$ .

Słownik

wzory redukcyjne

zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału $(0; \frac{π}{2})$ w celu wyliczenia wartości tych funkcji

jedynka trygonometryczna

tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratu sinusa dowolnego argumentu i kwadratu cosinusa dowolnego argumentu jest równa $1$ ; zwana też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik