Najmniejszą wartością funkcji liczbowej nazywamy najmniejszą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Największą wartością funkcji liczbowej nazywamy największą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1RF91V3GPK8k

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Wykres funkcji jest w kształcie nieregularnej fali o początku w punkcie $\left(-3;2\right)$, a koniec w punkcie $\left(4;-4\right)$. Wykres ten przechodzi przez następujące punkty charakterystyczne: $\left(-1;0\right)$ oraz $\left(0;-3\right)$. Najwyżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych $\left(-2;3\frac{1}{2}\right)$, a najniżej położonym punktem wykresu jest jego koniec, czyli przytoczony wcześniej punkt $\left(4;-4\right)$.

Odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji. Podamy najmniejszą wartość funkcjinajmniejsza wartość funkcjinajmniejszą wartość funkcji oraz największą wartość funkcjinajwiększa wartość funkcjinajwiększą wartość funkcji, o ile istnieje, oraz argument (argumenty), dla którego (dla których) ta wartość jest przyjmowana.

Rozwiązanie

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji.

$Z{W}_f\in ⟨-4;3,5⟩$

Wartość największą, równą $3,5$, przyjmuje funkcja dla argumentu $x=-2$.

Wartość najmniejszą, równą $\left(-4\right)$, przyjmuje funkcja dla argumentu $x=4$.

R1JWd6Y54FgES

W aplecie przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Wykres funkcji jest w kształcie nieregularnej fali o początku w punkcie $\left(-3;2\right)$, a koniec w punkcie $\left(4;-4\right)$. Wykres ten przechodzi przez następujące punkty charakterystyczne: $\left(-1;0\right)$ oraz $\left(0;-3\right)$. Najwyżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych $\left(-2;3\frac{1}{2}\right)$, a najniżej położonym punktem wykresu jest jego koniec, czyli przytoczony wcześniej punkt $\left(4;-4\right)$. W aplecie zawarta jest animacja przedstawiająca na osi Y zbiór wartości tej funkcji. Zbiór ten jest pionowym odcinkiem domkniętym rozciągającym na osi Y od minus cztery do trzy i pół.

W aplecie przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Wykres funkcji jest w kształcie nieregularnej fali o początku w punkcie $\left(-3;2\right)$, a koniec w punkcie $\left(4;-4\right)$. Wykres ten przechodzi przez następujące punkty charakterystyczne: $\left(-1;0\right)$ oraz $\left(0;-3\right)$. Najwyżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych $\left(-2;3\frac{1}{2}\right)$, a najniżej położonym punktem wykresu jest jego koniec, czyli przytoczony wcześniej punkt $\left(4;-4\right)$. W aplecie zawarta jest animacja przedstawiająca na osi Y zbiór wartości tej funkcji. Zbiór ten jest pionowym odcinkiem domkniętym rozciągającym na osi Y od minus cztery do trzy i pół.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2UvrdQe

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in ⟨1;5⟩$.

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ przyjmuje wartość największą. Skorzystamy z wykresu funkcji.

Rozwiązanie

Obliczymy wartości funkcji dla argumentów: $1$ i $5$.

$f\left(1\right)=\frac{5}{1}=5$

$f\left(5\right)=\frac{5}{5}=1$

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $5$, dla argumentu $x=1$.

R19o5sa9JyRE6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej ćwiartce, jest w łukowatym kształcie o wybrzuszeniu skierowanym w stronę początku układu współrzędnych. Wykres podobny jest do wykresu funkcji $\frac{1}{x}$, jednak jest bardziej odsunięty od punktu $\left(0;0\right)$. Początek wykresu znajduje się w punkcie $\left(1;5\right)$, a koniec w punkcie $\left(5;1\right)$.

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej ćwiartce, jest w łukowatym kształcie o wybrzuszeniu skierowanym w stronę początku układu współrzędnych. Wykres podobny jest do wykresu funkcji $\frac{1}{x}$, jednak jest bardziej odsunięty od punktu $\left(0;0\right)$. Początek wykresu znajduje się w punkcie $\left(1;5\right)$, a koniec w punkcie $\left(5;1\right)$.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2UvrdQe

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\sqrt{x-1}$, gdy $x\in ⟨1;10⟩$.

Wykażemy, że najmniejszą wartością funkcji $f$ jest liczba $0$.

Rozwiązanie

Korzystając z własności pierwiastków arytmetycznych stopnia drugiego, obliczymy wartości funkcji dla argumentów: $1$ i $10$.

$f\left(1\right)=\sqrt{1-1}=0$

$f\left(10\right)=\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3$

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $0$, dla argumentu $x=1$.

Możemy sprawdzić nasze przypuszczenia szkicując wykres funkcji.

RrGJcu6CDAcuT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do jedenastu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej ćwiartce, jest w łukowatym kształcie o wybrzuszeniu skierowanym w skośnie w prawo i do góry. Wykres ten jest przesuniętym wykresem funkcji $\sqrt{x}$ o jeden w prawo, czyli jego początek znajduje się nie w punkcie $\left(0;0\right)$, a w punkcie $\left(1;0\right)$. Koniec wykresu znajduje się w punkcie $\left(10;3\right)$. Funkcja jest rosnąca.

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do jedenastu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej ćwiartce, jest w łukowatym kształcie o wybrzuszeniu skierowanym w skośnie w prawo i do góry. Wykres ten jest przesuniętym wykresem funkcji $\sqrt{x}$ o jeden w prawo, czyli jego początek znajduje się nie w punkcie $\left(0;0\right)$, a w punkcie $\left(1;0\right)$. Koniec wykresu znajduje się w punkcie $\left(10;3\right)$. Funkcja jest rosnąca.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2UvrdQe

najmniejsza z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje

największa z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje