Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełną $x^2>9$.

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)>0$

Skorzystamy z własności odpowiedniej funkcji kwadrtowej. Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+3\right)$.

$x-3=0$ lub $x+3=0$

$x=3$ lub $x=-3$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$. Parabola ma ramiona skierowane „do góry” (bo współczynnik przy $x^2$ jest dodatni) oraz przechodzi przez wyznaczone punkty.

RHMHFH80fy00p

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej dwiema liczbami: $-3$ oraz $3$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią, w minus trójce przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie trzy. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności.

Rozwiążemy nierówność kwadratowa niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratowa niezupełną $4x^2-3\le 0$.

Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$\left(2x-\sqrt{3}\right)\left(2x+\sqrt{3}\right)\le 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\left(2x-\sqrt{3}\right)\left(2x+\sqrt{3}\right)$.

Skorzystamy z twierdzenia, że iloczyn dowolnych liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

$2x-\sqrt{3}=0$ lub $2x+\sqrt{3}=0$

$2x=\sqrt{3}$ lub $2x=-\sqrt{3}$

$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$.

R1FJmrucuNxvI

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej dwiema liczbami: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do punktu $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ wykres znajduje się nad osią, w punkcie $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x\in ⟨-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}⟩$.

Rozwiążemy nierówność $-2x^2+1<0$.

$1-2x^2<0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=1-2x^2$.

$\left(1-\sqrt{2}x\right)\left(1+\sqrt{2}x\right)=0$

$\sqrt{2}x=1$ lub $\sqrt{2}x=-1$

$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ lub $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Szkicujemy wykres funkcji $f$.

R1FboSrNxCs9H

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej dwiema liczbami: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do punktu $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ wykres znajduje się pod osią, w punkcie $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Ramiona paraboli skierowane są „do dołu”, ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest liczbą ujemną.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $x\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową $x^2+9>0$.

$x^2>-9$

Jest to nierówność tożsamościowa. Zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną.

Rozwiążemy nierówność kwadratową $-3x^2-1\ge 0$.

Mnożymy obie strony nierówności przez $\left(-1\right)$.

$3x^2+1\le 0$

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

Nierówność nie posiada rozwiązań.

Określimy liczbę rozwiązań nierówności $a{x}^2+c>0$, jeżeli wiadomo, że $a>0$ i $c>0$.

Współczynniki $a$ i $c$ są liczbami dodatnimi, zatem po przeniesieniu liczby $c$ na drugą stronę nierówności otrzymamy po prawej stronie liczbę ujemną.

$a{x}^2>-c$

Lewa strona nierówności jest liczbą nieujemną. Otrzymaliśmy zatem nierówność tożsamościową.

Obliczymy,  dla jakiej dodatniej  wartości parametru $m$ zbiorem rozwiązań nierówności $-3x^2+m>0$ jest zbiór $\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

$m-3x^2>0$

$\left(\sqrt{m}-\sqrt{3}x\right)\left(\sqrt{m}+\sqrt{3}x\right)>0$

$\sqrt{3}x=\sqrt{m} \vee \sqrt{3}x=-\sqrt{m}$

$x=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}} \vee x=-\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}}$

$x=\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3} \vee x=-\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3}$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych „do dołu”.

Rzs7K8woAT7uJ

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej dwiema liczbami: $-\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3}$ oraz $\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3}$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do punktu $-\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3}$ wykres znajduje się pod osią, w punkcie $-\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3}$ przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie $\frac{\sqrt{m}·\sqrt{3}}{3}$. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Czyli $\sqrt{m}=2$

$m=4$

Dla $m=4$ zbiorem rozwiązań  nierówności jest zbiór $\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Rozwiążemy nierówność ${\left(4x-1\right)}^2>16$.

${\left(4x-1\right)}^2>16 |\sqrt{*}$

$\sqrt{{\left(4x-1\right)}^2}>4$

$\left|4x-1\right|>4$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

$4x-1>4$ lub $4x-1<-4$

$4x>5$ lub $4x<-3$

$x>\frac{5}{4}$ lub $x<-\frac{3}{4},$

czyli $x\in \left(-\infty , -\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{4}, \infty \right)$.

nierówność, w której współczynniki odpowiedniego  trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$