Permutacją $P_n$ (bez powtórzeń) zbioru złożonego z $n$ różnych elementów nazywamy każdy $n$ wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru.

Liczba permutacji zbioru $n$ – elementowego wyraża się wzorem

Określimy, na ile sposobów można ustawić w jednym rzędzie dwie panie i trzech panów.

Dowolne ustawienie dwóch pań i trzech panów (czyli pięciu osób) w jednym rzędzie, możemy potraktować jako pięcioelementową permutację (bez powtórzeń).

Jest więc

$P_5=1·2·3·4·5=120$

sposobów ustawienia tych osób.

Zatem w doświadczeniu polegającym na ustawianiu w rzędzie pięciu osób, jest $120$ zdarzeń elementarnych.

Możemy zapisać: $\left|\mathrm{\Omega }\right|=120$.

Doświadczenie polega na tworzeniu pięcioliterowych wyrazów (mających sens lub nie) z liter wyrazu KARTA. Obliczymy, ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Wyraz KARTA składa się z pięciu liter. Gdyby litery były różne, to można by je przestawiać na $5!$ sposobów. Zauważmy, że w wyrazie KARTA powtarzają się litery A. Ustalając liczbę możliwych do utworzenia wyrazów, korzystamy ze wzoru na permutację z powtórzeniami.

$\frac{5!}{2!}=\frac{1·2·3·4·5}{1·2}=60$

W rozpatrywanym doświadczeniu jest $60$ zdarzeń elementarnych.

Liczba wszystkich $k$ – wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ elementowego jest równa

gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ i $k⩽n$.

Zapoznaj się z filmem, w którym zawarty jest sposób wyznaczenia liczby zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na tworzeniu różnych szyfrów składających się z trzech różnych liter alfabetu angielskiego oraz trzech różnych cyfr.

W filmie pokazano też, jak wyznaczyć liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniu polegającym na rozmieszczeniu pięciu osób w  dziesięciu przedziałach pustego wagonu.

Liczba wszystkich $k$ – wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego jest równa

gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$.

Doświadczenie polega na układaniu z  cyfr $0$, $1$, $2$, $3$, $\dots$ , $8$, $9$ sześciocyfrowego kodu, który zaczyna się od cyfry $3$. Obliczymy, ile takich kodów można ułożyć.

Kod ma zaczynać się od cyfry $3$, zatem wybór pozostałych pięciu cyfr możemy traktować jako pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego.

$W_{10}^5={10}^5$

Można utworzyć $100000$ kodów o podanych własnościach.

Liczba $C_n^k$ wszystkich kombinacji $k$ – elementowych zbioru $n$ – elementowego jest równa

gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ i $k⩽n$.

Eksperyment polega na wylosowaniu czterech spośród siedmiu pytań konkursowych. Wyznaczymy liczbę zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia liczby czteroelementowych podzbiorów zbioru siedmioelementowego.

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=C_7^4=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\frac{7!}{3!·4!}=\frac{5·6·7}{6}=35$

Liczba zdarzeń losowych w danym eksperymencie jest równa $35$.

W torebce znajduje się pięć koralików złotych i sześć srebrnych. Losujemy bez zwracania cztery koraliki.

Obliczymy ile jest możliwych wyników takiego losowania i na ile sposobów można wylosować jeden koralik złoty i trzy srebrne.

W torebce znajduje się jedenaście koralików. Losujemy bez zwracania cztery koraliki, zatem tworzymy czteroelementowe kombinacje spośród zbioru jedenastoelementowego.

$C_{11 }^4=\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)=\frac{11!}{4!·7!}=\frac{8·9·10·11}{1·2·3·4}=\frac{7920}{24}=330$

Aby obliczyć ile jest sposobów wylosowania jednego koralika złotego i trzech srebrnych, korzystamy z reguły mnożenia.

$C_5^1·C{ }_6^3=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=5·\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=5·\frac{6!}{3!·3!}=100$

Jest $330$ możliwości wylosowania czterech koralików i $100$ możliwości wylosowania jednego koralika złotego i trzech srebrnych.

liczba wszystkich $k$ – wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ elementowego jest równa $V_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$, gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ i $k⩽n$