Warto przeczytać

Soczewki zmieniają kierunek biegu padających na nie promieni. Przypomnijmy sobie, jak to wygląda dokładnie. Otóż:

1. Promień równoległy do osi optycznejoś optyczna osi optycznej po przejściu przez soczewkę skupiającą przechodzi przez jej ognisko położone po drugiej stronie soczewki.

2. Promień równoległy do osi optycznejoś optyczna osi optycznej po przejściu przez soczewkę rozpraszającą odchyli się od osi optycznej w taki sposób, że jego przedłużenie będzie przechodziło przez jego ognisko pozorne F położone przed soczewką.

3. Promień przechodzący przez środek soczewki zachowuje swój kierunek.

4. Promień przechodzący przez ognisko przed soczewką skupiającą, po przejściu przez nią, stanie się równoległy do osi optycznejoś optyczna osi optycznej.

5. Promień padający na soczewkę rozpraszającą w taki sposób, że jego przedłużenie pada na ognisko F leżące po drugiej stronie soczewki, po przejściu przez soczewkę będzie biegł równolegle do osi optycznejoś optyczna osi optycznej soczewki.

Na przecięciu się promieni przechodzących przez soczewkę (lub ich przedłużeń) powstaje obraz oglądanego przedmiotu.

R1bnk9r6iNq7a

Rys. 1. Schemat przedstawia soczewkę skupiającą, pokazaną w postaci pionowej dwustronnej strzałki z grotami skierowanymi na zewnątrz, umieszczoną na osi optycznej. Po obu stronach soczewki na osi optycznej zaznaczono punkty stanowiące ogniska soczewki i oznaczono je czarnymi wielkimi literami F. Odległości między tymi punktami, a punktem środka soczewki nazywamy ogniskową oznaczono ją czarną małą literą f. Na osi optycznej umieszczono czarny wektor między punktami opisanymi czerwonymi wielkimi literami B i A. Z wektora poprowadzono trzy promienie świetlne. Pierwszy z nich porusza się równolegle do osi optycznej, a po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko. Drugi, poruszający się przez środek soczewki po przejściu przez nią dalej porusza się po tej samej linii prostej. Trzeci z nich porusza się przez ognisko, a po przejściu przez soczewkę porusza się równolegle do osi optycznej. Te trzy promienie przecinają się po przejściu przez soczewkę tworząc obraz wektora BA pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami B prim i A prim. Ponieważ wektor ten był umieszczony w odległości, opisanej czarną małą literą x, większej od dwóch ogniskowych od soczewki to jego obraz powstaje po przeciwnej stronie soczewki w odległości, opisanej czarną małą literą y, większej od jednej ogniskowej i mniejszej niż dwie ogniskowe od soczewki i jest odwrócony, pomniejszony i rzeczywisty.

RMwbn0lguec9O

Rys. 2. Schemat przedstawia soczewkę rozpraszającą, pokazaną w postaci pionowej dwustronnej strzałki z grotami skierowanymi do wewnątrz, umieszczoną na osi optycznej. Po obu stronach soczewki na osi optycznej zaznaczono punkty stanowiące ogniska soczewki i oznaczono je czarnymi wielkimi literami F. Odległości między tymi punktami, a punktem środka soczewki nazywamy ogniskową oznaczono ją czarną małą literą f. Na osi optycznej umieszczono czarny wektor między punktami opisanymi czerwonymi wielkimi literami B i A, z którego poprowadzono trzy promienie świetlne. Pierwszy z nich porusza się równolegle do osi optycznej, a po przejściu przez soczewkę porusza się w taki sposób, że jego przedłużenie przechodzi przez ognisko. Drugi, poruszający się przez środek soczewki po przejściu przez nią dalej porusza się po tej samej linii prostej. Trzeci z nich porusza się w taki sposób, by jego przedłużenie przechodziło przez ognisko, a po przejściu przez soczewkę porusza się równolegle do osi optycznej. Przedłużenia tych trzech promieni przecinają się tworząc obraz wektora BA pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami B prim i A prim. Wektor ten był umieszczony w odległości opisanej czarną małą literą x, większej od dwóch ogniskowych od soczewki. Jego obraz powstaje po tej samej stronie soczewki w odległości opisanej czarną małą literą y, mniejszej od jednej ogniskowej i jest prosty, pomniejszony i pozorny.

Jeśli w układzie optycznym umieścimy przedmiot w odległości $x$ od soczewki, to w odległości $y$ otrzymamy ostry obraz tego przedmiotu. Czy wielkości $x$ i $y$ są ze sobą powiązane? Przyjrzyjmy się temu na przykładzie soczewki skupiającej dla $x\gt 2f$. Na podstawie Rys. 1. z podobieństwa trójkątów $ABO$ i $A^{\prime }{B}^{\prime }O$ możemy zapisać, że:

Iloraz $\frac{h’}{h}$ oznaczany jest literą $p$ i nazywany w optyce powiększeniem. Dodatkowo, z podobieństwa tych samych trójkątów, zauważamy, że:

Pamiętając jednak, że $y$ może przyjmować wartości ujemne, definiując powiększenie, należy zapisać powyższe równanie z wartością bezwzględną. Mamy zatem:

Dodatkowo, z podobieństwa trójkątów $AOF$ i $A{A}^{\prime }C$:

Odwracając powyższą równość otrzymujemy zależność:

która po przekształceniu da nam:

Dzieląc powyższe równanie przez $x$ otrzymujemy:

Zatem:

Ostatnia równość nazywana jest równaniem soczewki. Jest ona prawdziwa zarówno dla soczewek skupiających, jak i rozpraszających. Przy czym, zapisując tę zależność warto jest na początku przyjąć pewną konwencję znaków. Ustalmy więc, że w przypadku obrazu pozornego: $y\lt 0$ oraz dla soczewki rozpraszającej: $y\gt 0$.

Każda soczewka ma ustaloną odległość ogniskowąogniskowaogniskową w danym ośrodku. Jak wyznaczyć zatem położenie obrazu z wykorzystaniem równania soczewki? Przekształćmy ostatni wzór wyznaczając z niego $y$:

Powyższe równanie jest zależnością położenia obrazu $y$ od położenia przedmiotu $x$ przy ustalonej wartości ogniskowejogniskowaogniskowej $f$. Jest to zarazem funkcja algebraiczna, której przebieg możemy zbadać i nadać mu sens fizyczny. Spróbujmy narysować wykres $y(x)$ (Rys. 3.). Linią ciągłą przedstawiona została zależność dla parametru $f\gt 0$, czyli soczewek skupiających, zaś linią przerywaną – dla $f\lt 0$, czyli soczewek rozpraszających.

R1T0kYWT8a1Ag

Rys. 3. Schemat przedstawia w kolorze czerwonym wykres zależności położenia obrazu opisanego małą literą y od położenia obrazowanego obiektu opisanego małą literą x, umieszczony w prostokątnym układzie współrzędnych. Wartość ogniskowej soczewki oznaczono małą literą f. Zależność y od x jest opisana wzorem y równa się ułamkowi, w którego liczniku znajduje się iloczyn x i f, w którego mianowniku znajduje się różnica x i f. Wykres tej zależności stanowi malejąca hiperbola w kolorze czerwonym o  asymptocie pionowej x równa się f i asymptocie poziomej y równa się f. Funkcja ta przechodzi przez punkt początku układu współrzędnych.

Wykres ma asymptotę dla $x=f$, gdyż dla tego argumentu funkcja jest nieokreślona (mianownik nie może przyjąć wartości 0). Jak zinterpretować to fizycznie? Umieszczenie przedmiotu w ognisku powoduje, że tworzy się wiązka promieni równoległych, skutkiem czego jest brak obrazu.

Co jeszcze można powiedzieć na podstawie tego wykresu? Otóż w przypadku soczewki skupiającej dla:

• $x\in(0,f)$ – wartość funkcji jest ujemna, zatem obraz powstaje po tej samej stronie soczewki, co przedmiot. Przesuwanie przedmiotu w kierunku ogniska oznacza zwiększanie wartości argumentu $x$ badanej funkcji. Wówczas, jak widać na wykresie, wartość funkcji $y$ asymptotycznie dąży do minus nieskończoności – oznacza to znikanie obrazu (obraz oddala się coraz bardziej od soczewki).

• $x \gt f$ – wartości $y$ są dodatnie, więc obraz znajduje się po drugiej stronie soczewki. Funkcja nadal ma charakter malejący – wraz ze wzrostem odległości przedmiotu, odległość obrazu będzie się zmniejszała i dążyła do wartości $f$, jednak tej wartości nie osiągnie. Dodatkowo można zauważyć, że krzywa jest symetryczna względem wartości $2f$. Jeśli $x=2f$, $y$ przyjmie wartość:

  $$y=\frac{fx}{x-f}=\frac{f\cdot 2f}{2f-f}=2f$$

  zatem obraz powstaje dokładnie w odległości $2f$.

W przypadku soczewki rozpraszającej ogniskowaogniskowaogniskowa jest ujemna. W analizowanym równaniu oznacza to, że parametr $f$ jest mniejszy od zera, zatem przebieg funkcji jest inny. Na Rys. 3. przedstawia to czerwona linia przerywana. Wartości funkcji dążą asymptotycznie do $-f$. Oznacza to tyle, że $y$ nigdy nie przekroczy wartości ogniskowejogniskowaogniskowej, a obraz zawsze będzie znajdował się po tej samej stronie soczewki, co przedmiot. Wraz ze wzrostem odległości przedmiotu, odległość obrazu również wzrasta, lecz nie dąży do minus nieskończoności, ale do $-f$.

Słowniczek