Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$, zwanej różnicą ciągu.

Jeżeli liczby naturalne $a$ i $r$ są względnie pierwsze, to ciąg arytmetyczny

zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.

W tablicy zapisano przykłady ciągów liczb pierwszych tworzących ciąg arytmetyczny czterowyrazowy.

Liczby zapisane w kwadracie, to liczby pierwsze. Tworzą one ciąg arytmetyczny czterowyrazowy odpowiednio w każdym wierszu i w każdej kolumnie.

Obliczymy sumę wszystkich liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od $100$.

Liczby nieparzyste $1$, $3$, $5$, $\dots$, $99$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r=2$ i pierwszym wyrazie $a=1$.

Najpierw określimy ile liczb należy dodać. Skorzystamy ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego. Stąd:

$99=1+\left(n-1\right)·2$

$98=2n-2$

$n=50$

Wyznaczamy teraz szukaną sumę.

$S=\frac{1+99}{2}·50$

$S=2500$

Odpowiedź:

Suma wszystkich liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od $100$ jest równa $2500$.

Obliczymy sumę stu początkowych liczb naturalnych, które w dzieleniu przez $7$ dają resztę $1$.

Liczba naturalna, która w dzieleniu przez $7$ daje resztę $1$, jest postaci $7t+1$, gdzie $t$ jest liczbą naturalną. Liczby te tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz $a=1$, a różnica jest równa $7$. Obliczymy setny wyraz tego ciągu.

$a_{100}=1+\left(100-1\right)·7$

$a_{100}=1+693=694$

Wyznaczamy sumę $100$ wyrazów ciągu.

$S=\frac{1+694}{2}·100$

$S=34750$

Odpowiedź:

Suma stu początkowych liczb naturalnych, które w dzieleniu przez $7$ dają resztę $1$ jest równa $34750$.

Obliczymy, dla jakich wartości $x$ liczby $\log 2$, $\log \left(2^x-1\right)$, $\log \left(2^x+3\right)$ w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny.

Z definicji logarytmu wynika, że

$2^x-1>0\Rightarrow x>0$ i

$2^x+3>0\Rightarrow x\in \mathrm{ℝ}$

Z tego wynika, że podane liczby utworzą ciąg arytmetyczny, gdy $x>0$.

Z własności wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że

$\log \left(2^x+3\right)-\log \left(2^x-1\right)=\log \left(2^x-1\right)-\log 2$

Różnica logarytmów jest równa logarytmowi ilorazu, zatem

$\log \frac{2^x+3}{2^x-1}=\log \frac{2^x-1}{2}$

Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że

$\frac{2^x+3}{2^x-1}=\frac{2^x-1}{2}$

Przekształcamy otrzymane równanie, podstawiając $2^x=t$, $t>0$.

$\frac{t+3}{t-1}=\frac{t-1}{2}$

$t^2-2t+1=2t+6$

$t^2-4t-5=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$∆=16+20=36\Rightarrow \sqrt{∆}=6$

$t_1=\frac{4-6}{2}=-1$ – nie spełnia warunków zadania, bo $t_1<0$

$t_2=\frac{4+6}{2}=5$

Stąd

$2^x=5$

$x={\log }_{2}5$

Otrzymana liczba jest dodatnia, zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

Podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, gdy $x={\log }_{2}5$.

Logarytmy dziesiętne trzech liczb $x$, $y$, $z$ tworzą, w tej kolejności,  ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny. Suma odwrotności tych liczb jest równa $39$, a suma kwadratów odwrotności tych liczb jest równa $819$. Znajdź te liczby.

Liczby: $\log x$, $\log y$, $\log z$ tworzą ciąg arytmetyczny – z definicji logarytmu wynika, że $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że

$\log y=\frac{\log x+\log z}{2}$

$2\log y=\log x+\log z$

Teraz korzystamy z własności logarytmu potęgi i logarytmu iloczynu.

$\log y^2=\log \left(xz\right)$

Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że

$y^2=xz$

Zapisujemy równanie wynikające z tego, że suma odwrotności liczb $x$, $y$, $z$ jest równa $39$.

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=39$

Teraz zapisujemy równanie wynikające z tego, że suma kwadratów odwrotności liczb $x$, $y$, $z$ jest równa $819$.

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=819$

Oznaczamy:
$a=\frac{1}{x}$,
$b=\frac{1}{y}$,
$c=\frac{1}{z}$.

Otrzymujemy w ten sposób układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{b}^2=ac\\ a+b+c=39\\ a^2+b^2+c^2=819\end{array}\right.$

Aby rozwiązać ten układ, podnosimy do kwadratu drugie z równań (liczby $a$, $b$, $c$ są dodatnie).

${\left(a+b+c\right)}^2=1521$

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1521$

Do otrzymanego równania podstawiamy za $a^2+b^2+c^2$ liczbę $819$, a za wyrażenie $ac$ liczbę $b^2$.

$819+2ab+2bc+2b^2=1521$

Z otrzymanego równania wyznaczamy $b$.

$2b\left(a+b+c\right)=702$

$2b·39=702$

$b=9$

Podstawiamy za $b$ wyznaczoną liczbę do pierwszych dwóch równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}81=ac\\ a+9+c=39\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=30-c\\ \left(30-c\right)c=81\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=30-c\\ c^2-30c+81=0\end{array}\right.$

Z drugiego z równań układu wyznaczamy $c$.

$∆=576$

$c=3$ lub $c=27$

Jeśli $c=3$ to $a=27$ i $x=\frac{1}{27}$, $y=\frac{1}{9}$, $z=\frac{1}{3}$.

Jeśli $c=27$ to $a=3$ i $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{1}{9}$, $z=\frac{1}{27}$.

Znalezione liczby $x$, $y$, $z$ są dodatnie, spełniają więc warunki zadania.

Odpowiedź:

Szukane liczby to $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{27}$.

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$, zwanej różnicą ciągu