Przeczytaj

Warto przeczytać

Jak obliczyć energię potencjalną sprężystościEnergia potencjalna sprężystościenergię potencjalną sprężystości, zgromadzoną w rozciągniętej (Rys. 1.) lub ściśniętej sprężynie?

R1tqBvWLajJSU

Rys. 1. Rysunek poglądowy przedstawia ilustrację treści. Rozciągnięta sprężyna posiada energię potencjalną sprężystości. — Rys. 1. Rozciągnięta sprężyna posiada energię potencjalną sprężystości.

Energia potencjalna sprężystościenergia potencjalna sprężystościEnergia potencjalna sprężystości jest równa pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną, która równoważy siłę sprężystości podczas rozciągania sprężyny. Wartość tej pracy, a więc i energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości, co do wartości, jest równa polu pod wykresem zależności siły od wydłużenia. Zagadnienie to jest szczegółowo wyjaśnione w e‑materiale pt. Energia potencjalna sprężystości.

Siła sprężystości i równoważąca ją siła zewnętrzna zależą liniowo od wydłużenia. Praca wykonana przez siłę zewnętrzną przy rozciągnięciu sprężyny o $x$ jest, co do wartości, równa polu trójkąta prostokątnego o wysokości $F=k\cdot x$ i podstawie $x$ (zob. Rys. 2.).

RoCcKqrVa2RrP

Rys. 2. Graficzna interpretacja pracy wykonanej podczas rozciągania sprężyny.

Pracę obliczamy korzystając ze wzoru na pole trójkątaPole trójkątapole trójkąta

W = \frac{1}{2} F \cdot x = \frac{1}{2} k \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} k \cdot x^{2} .

Wzór na energię potencjalną sprężystości można zatem zapisać w postaci:

E_{p} = \frac{1}{2} k \cdot x^{2},

gdzie $k$ to współczynnik (stała) sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynywspółczynnik (stała) sprężystości sprężyny, a $x$ to jej wydłużenie.

Jednostką energii w układzie SI jest dżul (J).

Współczynnik sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynyWspółczynnik sprężystości sprężyny zależy od jej długości, pola przekroju poprzecznego oraz materiału, z którego została wykonana. Można go wyznaczyć doświadczalnie (zob. Przykład 1. umieszczony poniżej).

Energia potencjalna zmagazynowana w rozciągniętej lub ściśniętej sprężynie jest proporcjonalna do kwadratu wielkości odkształcenia, czyli kwadratu wydłużenia lub skrócenia sprężyny. Wykres $E_p(x)$ jest zatem parabolą (Rys. 3). Wydłużenie $x$ może również przyjmować wartości ujemne, więc wykres energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości $E_p(x)$ jest symetryczny względem osi rzędnych i przechodzi przez początek układu współrzędnych.

R8GO4Au1hHszY

Rys. 3. Wykres przedstawia graficzną ilustrację treści. Wykres zależności energii potencjalnej sprężyny od wielkości jej odkształcenia - wydłużenia (dla x>0) i skrócenia (dla x<0). — Rys. 3. Wykres zależności energii potencjalnej sprężyny od wielkości jej odkształcenia - wydłużenia (dla x>0) i skrócenia (dla x<0).

Gdy ciężarek na sprężynie (Rys. 1.) wykonuje drgania harmoniczne, to każdemu jego położeniu $x\ne0$ odpowiada pewna, różna od zera, dodatnia wartość energii potencjalnej sprężystości. Energia potencjalna sprężystości jest równa zeru w położeniu równowagi ( $x=0$ ) i jest największa przy maksymalnym wydłużeniu, czy skróceniu sprężyny ( $x=\pm A$ , gdzie $A$ to amplituda drgań). Maksymalna wartość energii potencjalnej sprężystości wynosi:

E_{p}^{max} = \frac{1}{2} k \cdot A^{2} .

Uwzględniając, że w ruchu harmonicznym $k = m \cdot ω^{2} = 4 π^{2} \cdot f^{2} \cdot m$ (gdzie $m$ to masa ciężarka, $\omega$ jego częstość kołowa, a $f$ częstotliwość drgań) otrzymujemy:

E_{p}^{max} = 2 π^{2} \cdot f^{2} \cdot m \cdot A^{2} .

Maksymalna wartość energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości, kwadratu amplitudy drgań oraz masy ciężarka.

Przykład 1.

Jak wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynywspółczynnik sprężystości sprężyny?

Zawieśmy ciężarek o znanej masie $m$ na sprężynie (Rys. 4.) i zmierzmy jej wydłużenie $\Delta l$ . Gdy ciężarek jest nieruchomy, to siła ciężkości $\vec{F_g}$ równoważy siłę sprężystości $\vec{F_s}$ :

$\vec{F_g}=-\vec{F_s},$

skąd, w zapisie skalarnym, dostajemy:

$F_g=mg=k\cdot\Delta l,$

gdzie $g$ to wartość przyspieszenia ziemskiego, a $k$ to stała sprężystości sprężyny.

RIxBv3G7NXhMV

Rys. 4. Rysunek poglądowy przedstawia graficzną ilustrację treści. Ciężarek o masie m zawieszony na sprężynie powoduje jej wydłużenie o Δl . — Rys. 4. Ciężarek o masie m zawieszony na sprężynie powoduje jej wydłużenie o Δl .

Ostatnie wyrażenie, będące porównaniem wartości sił działających na ciężarek, można wykorzystać w doświadczeniu mającym na celu zmierzenie stałej sprężystości sprężyny.

Zawieszając na sprężynie ciężarki o różnych masach i odnotowując wydłużenie sprężyny dla kolejnych mas, można wykonać wykres taki, jak ten, który pokazano na Rys. 5. Na tym wykresie, współczynnik kierunkowy $a$ prostej $\Delta l=a\cdot m$ , dopasowanej do punktów pomiarowych i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, jest równy $a=\frac{g}{k}$ . Wyznaczenie stałej sprężystości $k$ sprowadza się zatem do odczytania z wykresu współczynnika $a$ i podstawienia jego wartości do wzoru: $k=\frac{g}{a}.$

R6R9xQbZi3fpe

Rys. 5. Rysunek poglądowy przedstawia graficzną ilustrację treści. Przykładowy wykres zależności wydłużenia sprężyny od masy zawieszonych na niej ciężarków. Punkty pomiarowe zaznaczono czarnymi kropkami. Czerwona linia reprezentuje najlepsze dopasowanie do tych punktów prostej postaci: Δl=a⋅m. — Rys. 5. Przykładowy wykres zależności wydłużenia sprężyny od masy zawieszonych na niej ciężarków. Punkty pomiarowe zaznaczono czarnymi kropkami. Czerwona linia reprezentuje najlepsze dopasowanie do tych punktów prostej postaci: $Δ l = a \cdot m$ . (zob. opis w tekście)

Doświadczenie to można wykonać w klasie, ale możesz je również wykonać samodzielnie, w domu.

Przykład 2.

Oblicz maksymalną wartość energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości oscylatora harmonicznegoOscylator harmonicznyoscylatora harmonicznego o amplitudzie $A=0,2\text{ m}$ , częstości kołowej $ω =$ $2 π \frac{rad}{s}$ i masie $m=0,6\text{ kg}$ . Sporządź wykres zależności energii potencjalnej od czasu dla tego oscylatora harmonicznego. Przyjmij, że w chwili początkowej oscylator jest w położeniu $x=0{ m}$ .

Dane:

$A=0,2\text{ m}$ ,
$m=0,6\text{ kg}$ ,
$ω =$ $2 π \frac{rad}{s}$ .

W ruchu harmonicznym wychylenie zmienia się w czasie według zależności:

x (t) = A \sin (ω t),

skąd widać, że w chwili początkowej, dla $t=0\text{ s}$ , mamy $x(0)=0\text{ m}$ . Okres dgrań badanego oscylatoraOscylator harmonicznyoscylatora wynosi:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=1\text{ s}.$

Energia potencjalna sprężystości wynosi:

E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} \sin^{2} (ω t) .

Uwzględniając, że w ruchu harmonicznym $k = m ω^{2}$ , otrzymujemy zależność energii potencjalnej sprężystości od czasu (zob. Rys. 6.):

$E_p(t)=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t).$

Maksymalna wartość powyższego wyrażenia, dla $\sin(\omega t)=1$ , jest dana wzorem:

E_{p}^{max} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2},

skąd, po podstawieniu wartości podanych w treści przykładu, dostajemy:

E_{p}^{max} = \frac{1}{2} \cdot 0, 6 kg \cdot {(2 \cdot 3, 14 \frac{rad}{s})}^{2} \cdot (0, 2 m)^{2} \approx 0, 47 J .

R12K4ZQxyPNad

Rys. 6. Wykres przedstawia graficzną ilustrację treści. Wykres zależności energii potencjalnej od czasu dla oscylatora harmonicznego analizowanego w Przykładzie 2. — Rys. 6. Wykres zależności energii potencjalnej od czasu dla oscylatora harmonicznego analizowanego w Przykładzie 2.

Wykres zależności energii potencjalnej sprężystości od czasu (Rys. 6.), sporządzony dla jednego okresu drgań oscylatora harmonicznego analizowanego w Przykładzie 2., pokazuje, że w ciągu okresu energia potencjalna sprężystości dwukrotnie osiąga wartość maksymalną: dla $t=\frac{1}{4}T=0,25\text{ s}$ i dla $t=\frac{3}{4}T=0,75\text{ s}$ , gdy wychylenie $|x|=A=0,2\text{ m}$ .

Słowniczek

Energia potencjalna sprężystości

(ang.: elastic potential energy) - energia układu poddanego działaniu sił sprężystości. W przypadku sprężyny, w której siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia (lub skrócenia) sprężyny $x$ , energia sprężystości jest dana wzorem: $E_p=\frac{1}{2}kx^2$ , gdzie $k$ to stała sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynystała sprężystości sprężyny.

Oscylator harmoniczny

(ang.: harmonic oscillator) - układ drgający wykonujący ruch harmoniczny. Ruch taki może występować w rozmaitych układach fizycznych, takich jak np. wahadło, ciężarek ma sprężynie itd. W oscylatorze występuje siła sprężysta $F=k\cdot x$ proporcjonalna do jego przemieszczenia (lub odchylenia) $x$ od stanu równowagi $x=0$ , gdzie $k$ to stała sprężystości. Zależne od czasu położenie oscylatora jest opisane sinusiodą: $x(t)=A\sin(\omega t)$ , gdzie $A$ to amplituda drgań oscylatora, ω=
$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ to tzw. częstość kołowa, $T$ to okres drgań oscylatora, a $f=\frac{1}{T}$ to częstotliwość drgań. Można pokazać, że związek między stałą sprężystości $k$ , występującą w sile działającej na oscylator, a pozostałymi wielkościami opisującymi jego ruch ma postać: $k=m\omega^2=4\pi^2f^2m$ , gdzie $m$ to masa oscylatora (np. ciała umieszczonego na końcu sprężyny).

Pole trójkąta

(ang.: area of a triangle) – jeśli boki trójkąta oznaczymy jako: $a,b,c$ , a wysokości opuszczone na te boki jako: $h_a,h_b,h_c$ , wówczas pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru: $P_{\Delta}=\frac{1}{2}a\cdot h_a=\frac{1}{2}b\cdot h_b=\frac{1}{2}c\cdot h_c$ .

Prawo Hooke'a

(ang.: Hooke's law) – prawo mechaniki, które głosi, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły.

Stała sprężystości sprężyny

(ang.: spring constant) ozn. $k$ – stała materiałowa występująca w prawie Hooke'aPrawo Hooke'aprawie Hooke'a dla tzw. liniowych sprężyn, w których wartość siły sprężystości $F$ jest proporcjonalna do wydłużenia (lub skrócenia) $x$ sprężyny: $F=k\cdot x$ . Jednostką stałej sprężystości jest N⋅mIndeks górny -1 (newton na metr). Im większa jest stała sprężystości sprężyny, tym trudniej ją odkształcić, czyli rozciągnąć lub ścisnąć.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Przykład 1.

Przykład 2.

Słowniczek