W logice posługujemy się zdaniami, nie każde jednak zdanie z języka potocznego jest zdaniem w sensie logiki.

Zdanie w sensie logiki to wypowiedź języka, której można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (oznaczaną w logice symbolem $1$, chociaż czasem można spotkać oznaczenie $P$, lub – z języka angielskiego $T$ – true) lub fałsz (oznaczaną w logice symbolem $0$, chociaż czasem można spotkać oznaczenie $F$-fałsz, lub – z języka angielskiego – również $F$ – false). Zdania w sensie logiki zwykle oznaczamy małymi literami $p$, $q$, $r$, $t$ itd.

Z pojedynczych zdań logicznychzdanie logicznezdań logicznych możemy budować zdania złożone, podobnie jak w języku potocznym. Budując zdania złożone posługujemy się spójnikamispójnik (funktor) logicznyspójnikami – w logice nazywamy je funktorami logicznymi.

Funktory logiczne mogą być jednoargumentowe lub dwuargumentowe.

Funktor jednoargumentowy (wystarczy jedno zdanie):

• negacja (inaczej zaprzeczenie) – oznaczenie symboliczne: $~$ (nieprawda, że ...)

W ocenie prawdziwości zdań złożonych pomagają nam nie tylko „zdroworozsądkowe” nawyki z życia codziennego, ale też precyzyjna metoda wprowadzona przez matematyków. Jest to tzw. metoda zero–jedynkowa. Oznaczmy  wartość logicznąwartość logicznawartość logiczną zdania prawdziwego  symbolem $1$, a fałszywego symbolem $0$.  Dla  negacji zdania układ wartości układa się tak, jak w tabelce.

Inaczej powiemy, że zaprzeczenie zdania ma wartość logiczną przeciwną do wartości logicznej rozpatrywanego zdania.

Zdania złożone z większej liczby zdań prostych budujemy przy pomocy funktorów dwuargumentowych. Weźmy pod uwagę dwa zdania.

Zdanie $p$: Okrąg ma jeden środek. Zdanie $q$: Trójkąt ma cztery wierzchołki.

Korzystanie z funktorów dwuargumentowych będziemy poznawać w oparciu o te dwa zdania.

Funktory dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) to:

• koniunkcja zdań $p$ i $q$ (inaczej iloczyn logiczny) – oznaczenie symboliczne:
  $p\wedge q$ – (... i ...)

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci koniunkcji w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Jest ona zgodna z naszą intuicją wynikająca z życia codziennego: aby zdanie złożone, w którym występują dwa zdania składowe połączone spójnikiem „i” było prawdziwe, oba zdania składowe muszą być prawdziwe.

• alternatywa zdań $p$ i $q$ (inaczej suma logiczna) – oznaczenie symboliczne:
  $p\vee q$ – (... lub ...)

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci alternatywy w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Jest ona zgodna z naszą intuicją wynikająca z życia codziennego: aby zdanie złożone, w którym występują dwa zdania składowe połączone spójnikiem „lub” było prawdziwe, wystarczy, aby jedno zdanie składowe było prawdziwe.

• implikacja zdań $p$ i $q$ (inaczej wynikanie) – oznaczenie symboliczne:
  $p\Rightarrow q$ – (jeżeli ..., to ...); zdanie $p$ nazywamy poprzednikiem, a zdanie $q$ następnikiem

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci implikacji w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Tutaj intuicja w zasadzie nie podpowiada nam nic, jeżeli chodzi o związek wartości logicznej implikacji z wartościami logicznymi zdań składowych. Musimy przyjąć to, co zaproponowali logicy: z prawdy może wynikać prawda, z fałszu może wynikać prawda, z fałszu może wynikać fałsz, jedynie z prawdy nie może wynikać fałsz. Tylko w tej sytuacji implikacja jest fałszywa.

• równoważność zdań $p$ i $q$:
  $p\iff q$ – (... wtedy i tylko wtedy, gdy ...)

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci równoważności w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Zawartość tabeli znowu jest zgodna z naszą intuicją: równoważność jest prawdziwa, jeżeli oba zdania składowe mają tę samą wartość logiczną.

W logice istnieją prawa logiczne zawsze prawdziwe. Nazywamy je tautologiami. Warto zapoznać się przynajmniej z niektórymi z nich, ponieważ są zgodne z naszym poczuciem zdrowego rozsądku i potwierdzają obecność logiki w naszych codziennych rozumowaniach:

1. prawo podwójnego przeczenia $p\iff \sim (\sim p)$

2. prawo wyłączonego środka $p\vee ~p$ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe)

3. prawo sprzeczności $~\left(p\wedge ~p\right)$ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe)

4. prawo przemienności koniunkcji $p\wedge q\iff q\wedge p$

5. prawo przemienności alternatywy $p\vee q\iff q\vee p$

Oprócz zdań logicznych, których wartość logicznąwartość logicznawartość logiczną możemy natychmiast określić, w logice istnieją też formy (funkcje) zdaniowe, czyli zdania orzekające, którym nie można przypisać określonej wartości logicznej, gdyż zawierają zmienną należącą do pewnego   zbioru $X$ (zwanego  dziedziną formy zdaniowej), jednak, gdy przyjmiemy zamiast zmiennej dowolny element dziedziny, to forma zdaniowa staje się zdaniem logicznym. Formy zadaniowe oznaczamy  $p\left(x\right)$, $q\left(x\right)$ itp.

Nierówność z Przykładu 10 możemy uznać za formę zdaniową $p\left(x\right)$, która zmienia się w zdanie prawdziwe, jeśli w miejsce zmiennej $x$ wstawimy liczbę większą od $5$, w zdanie fałszywe, jeśli wstawimy liczbę równą $5$ lub mniejszą od $5$. Dziedziną tej formy zdaniowej może być np. zbiór liczb rzeczywistych.

Z formami zdaniowymi spotykaliście się już wcześniej. Każde równanie i nierówność jest formą zdaniowąforma zdaniowaformą zdaniową.

Wiele twierdzeń jest zbudowanych w postaci form zdaniowych, warto więc zwrócić uwagę na nie, zwłaszcza na negowanie form zdaniowych.

Jak widać z rozwiązania Przykładu 11 w przypadku form zdaniowych określonych w postaci przedziału przy budowaniu negacji formy bardzo ważne jest pamiętanie o przedziałach domkniętych i otwartych, aby suma formy i jej negacji dawała nam całą dziedzinę.

Słownik