Przeczytaj

W tym materiale zajmiemy się szczególnie ważnym typem szeregu, czyli szeregiem geometrycznym.

Najpierw wprowadźmy definicję.

szeregu geometrycznego

Definicja: szeregu geometrycznego

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ , gdzie $a_{1}$ , $q \in ℝ$ . Liczbę q nazywamy ilorazem szeregu geometrycznego.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy szereg $1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \dots$ jest szeregiem geometrycznym.

Rozwiązanie

Aby szereg był geometryczny, sprawdzamy czy kolejne składniki sumy są wyrazami ciągu geometrycznego. Powinny zatem zachodzić równości:

$\frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} = \dots$

Obliczamy

$\frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6}$

$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{2}$

Ponieważ kolejne składniki szeregu nie są wyrazami ciągu geometrycznego, zatem nie jest to szereg geometryczny.

Zbadamy, dla jakich wartości $a_{1}$ i $q$ szereg geometryczny $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest zbieżnyszereg zbieżnyzbieżny.

Ciąg sum częściowych szeregu geometrycznego ma postać:

$S_{1} = a_{1}$
$S_{2} = a_{1} + a_{1} q$
$S_{3} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2}$
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1}$

Możemy wykorzystać poznany wcześniej wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciąg geometrycznego

$S_{n} = \{\begin{cases} a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}, & gdy q \neq 1 \\ n a_{1}, & gdy q = 1 \end{cases}$

Sformułujemy twierdzenie opisujące, dla jakich wartości $a_{1}$ oraz $q$ szereg geometryczny jest zbieżny.

Przypadek $I$

Zauważmy, że szczególnym przypadkiem jest $a_{1} = 0$ . Wówczas wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych są równe $0$ , czyli szereg jest zbieżny do $0$ .

Przypadek $II$

Niech $a_{1} \neq 0$ .

Niech $q = 1$ . Wtedy $S_{n} = n a_{1}$ i widzimy, że: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1} = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \{\begin{cases} + \infty, gdy a_{1} > 0 \\ - \infty, gdy a_{1} < 0 \end{cases}$ .

Zatem szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest rozbieżny.

Gdy $q = - 1$ , wtedy $S_{n} = a_{1}$ dla nieparzystych liczb naturalnych $n$ , a $S_{n} = 0$ dla dodatnich parzystych liczb naturalnych $n$ . Zatem nie istnieje $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ , czyli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest rozbieżny.
Jeżeli $q > 1$ , to $\lim_{n \to \infty} q^{n} = + \infty$ . Wówczas

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} (a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}) = + \infty$ , gdy $a_{1} > 0$ ,

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} (a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}) = - \infty$ , gdy $a_{1} < 0$ .

Zatem szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest rozbieżny.

Jeżeli $q < - 1$ , to ciąg $(q^{n})$ jest rozbieżny, czyli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest rozbieżny.
Jeżeli $|q| < 1$ , to $\lim_{n \to \infty} q^{n} = 0$ i wówczas $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ .

Możemy sformułować zatem twierdzenie.

o zbieżności szeregu geometrycznego

Twierdzenie: o zbieżności szeregu geometrycznego

Jeżeli $|q| < 1$ lub $a_{1} = 0$ , to szereg geometryczny $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest zbieżny.

Jeżeli $a_{1} = 0$ , to $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1} = 0$ .

Jeżeli $|q| < 1$ , to $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1} = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ .

Przykład 2

Dany jest szereg geometryczny: $1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + \dots$ Zbadamy, czy podany szereg jest zbieżny. Jeżeli jest zbieżny, podamy jego sumę.

Rozwiązanie

Zbadamy jaki jest iloraz podanego szeregu:

$q = \frac{- \frac{2}{3}}{1} = - \frac{2}{3}$

Zatem $|q| = \frac{2}{3} < 1$

Zatem szereg jest zbieżny i jego suma jest równa: $1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + \dots = \frac{1}{1 - (- \frac{2}{3})} = \frac{3}{5}$ .

Przykład 3

Dany jest szereg geometryczny: $x + \frac{x}{x + 1} + \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{{(x + 1)}^{3}} + \dots$ .

Zbadamy, dla jakich wartości $x$ podany szereg jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.

Rozwiązanie

Szereg geometryczny $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = 0$ lub $|q| < 1$ .

Ponieważ w analizowanym szeregu $a_{1} = x$ i $q = \frac{1}{x + 1}$ , zatem, aby szereg był zbieżny, musi zajść jeden z dwóch warunków:

$x = 0$ lub $|\frac{1}{x + 1}| < 1$ .

Rozwiązujemy nierówność: $|\frac{1}{x + 1}| < 1$ .

Wówczas $1 < |x + 1|$

$x + 1 > 1$ lub $x + 1 < - 1$

$x > 0$ lub $x < - 2$

Jeżeli $x = 0$ , to $x + \frac{x}{x + 1} + \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{{(x + 1)}^{3}} + \dots = 0$ .

Jeżeli $x \in (- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ , to $x + \frac{x}{x + 1} + \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{{(x + 1)}^{3}} + \dots = \frac{x}{1 - \frac{1}{x + 1}} = x + 1$ .

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny gdy $x \in (- \infty, - 2) \cup ⟨0, + \infty)$ .

Przykład 4

Dany jest szereg geometryczny: $1 + (x^{2} + 3 x + 1) + {(x^{2} + 3 x + 1)}^{2} + {(x^{2} + 3 x + 1)}^{3} \dots$ .

Zbadamy, dla jakich wartości $x$ szereg geometryczny jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.

Rozwiązanie

Szereg geometryczny $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{1} \cdot q^{n - 1}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = 0$ lub $|q| < 1$ .

Ponieważ $a_{1} = 1$ , zatem rozwiążemy tylko warunek: $|x^{2} + 3 x + 1| < 1$ .

Zatem $x^{2} + 3 x + 1 < 1$ i
$- 1 < x^{2} + 3 x + 1$ .

Rozwiązujemy nierówność: $x^{2} + 3 x + 1 > - 1$
$x^{2} + 3 x + 2 > 0$

$Δ = 1$

$x_{1} = - 1$ lub $x_{2} = - 2$

Rozwiązaniem nierówności $x^{2} + 3 x + 1 > - 1$ jest zbiór $(- \infty, - 2) \cup (- 1, + \infty)$ .

Rozwiązujemy nierówność: $1 > x^{2} + 3 x + 1$ .
$0 > x^{2} + 3 x$
$0 > x (x + 3)$
$x_{3} = 0$ lub $x_{4} = - 3$

Rozwiązaniem nierówności $1 < x^{2} + 3 x + 1$ jest zbiór $(- 3, 0)$ .

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny dla $x \in (- 3, - 2) \cup (- 1, 0)$ . Suma szeregu jest równa $\frac{1}{- x^{2} - 3 x}$ .

Słownik

szereg zbieżny

szereg, dla którego ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy liczbowej

Wprowadzenie

Animacja

Słownik