Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

$a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$ lub $a{x}^2+bx+c<0$ lub $a{x}^2+bx+c\le 0,$

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratową niezupełną $2x^2-4x>0$.

Wyłączymy jednomian $2x$ przed nawias.

$2x\left(x-2\right)>0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=2x\left(x-2\right)$.

$2x=0$ lub $x-2=0$

$x=0$ lub $x=2$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (bo współczynnik przy $x^2$ jest dodatni).

RZrdpyxnPCAto

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 2. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie dwa. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , 0\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową $-x^2\le -\sqrt{3}x$ .

Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności.

$-x^2+\sqrt{3}x\le 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias.

$x\left(-x+\sqrt{3}\right)\le 0$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=x\left(-x+\sqrt{3}\right)$ rozwiązujemy równanie $x\left(-x+\sqrt{3}\right)=0$.

$x=0$ lub $-x+\sqrt{3}=0$

$x=0$ lub $x=\sqrt{3}$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy $x^2$ jest ujemny.

R1TyMsLWwqPKM

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i $\sqrt{3}$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie $\sqrt{3}$. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(-\mathrm{\infty },0>\cup <\sqrt{3},\mathrm{\infty })$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową $2x^2\ge \frac{x^2}{2}$.

Nierówność doprowadzimy do postaci $a{x}^2+bx\ge 0$, $a\ne 0$.

$-\frac{x^2}{2}+2x\ge 0$

Pomnożymy obie strony nierówności przez $2$.

$-x^2+4x\ge 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias i obliczymy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=-x^2+4x$.

$x\left(-x+4\right)=0$

$x=0$ lub $x=4$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$. Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy $x^2$ jest ujemny.

R14FeC35g1Y0v

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 4. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie 4. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Odczytujemy z wykresu argumenty, dla których wartości funkcji są nieujemne.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨\mathrm{0,} 4⟩$.

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem nierówności $2x^2-mx>0$ jest zbiór $\left(-\infty , 0\right)\cup \left(6, \infty \right)$.

$2x^2-mx>0$

$x\left(2x-m\right)>0$

Obliczymy teraz miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=x\left(2x-m\right)$.

$x\left(2x-m\right)=0$

$x=0$ lub $x=\frac{m}{2}$

Czyli $\frac{m}{2}=6\Rightarrow m=12$.

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry.

R90AUpLFpUYQc

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 6. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 6. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Czyli $x\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(6, \infty \right)$.

Zatem dla $m=12$ rozwiązaniem nierówności jest zbiór $\left(-\infty , 0\right)\cup \left(6, \infty \right)$.

Wyznaczymy takie liczby całkowite dodatnie, dla których  kwadrat danej liczby  jest nie większy od trzykrotności tej liczby.

Zapiszemy nierówność opisującą sytuację podaną w zadaniu.

$x$ – liczba całkowita dodatnia

$x^2\le 3x$

$x^2-3x\le 0$

$x\left(x-3\right)\le 0$

$x=0$ lub $x=3$

RPRFVUPhC5cdn

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i 3. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 3. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Ponieważ liczby są całkowite dodatnie, zatem $x\in \left\{\mathrm{1,} 2, 3\right\}$.

nierówność, w której współczynniki  we wzorze ogólnym nierówności kwadratowej  $b$ lub $c$ są równe $0$