Przeczytaj
Kulą nazywamy zbiór punktów przestrzeni oddalonych nie więcej niż o ustaloną odległość (promień kuli) od zadanego punktu (środek kuli). Średnicą kuli jest cięciwa przechodząca przez środek kuli, zatem .
Pole powierzchni kuli obliczamy ze wzoru:
Objętość kuli
Niech będzie długością promienia kuli.
ObjętośćObjętość kuli obliczamy ze wzoru:
Do wyprowadzenia wzoru na objętość kulikuli wykorzystuje się analizę matematyczną wraz z rachunkiem całkowym.
Jeżeli mamy dany wzór na objętość kuli, to możemy w łatwy sposób wyprowadzić wzór na jej pole powierzchni poprzez podział powierzchni kuli na jednakowe trójkąty krzywoliniowe.
Obliczymy objętość kuli, jeżeli jej promień ma długość .
Rozwiązanie
Ponieważ , zatem objętość kuli jest równa:
.
Objętość kuli wynosi .
Wyznaczymy długość promienia kuli o objętości równej .
Rozwiązanie
Ponieważ , zatem do wyznaczenia długości promienia kuli rozwiązujemy równanie:
.
Promień kuli ma długość .
Promień kuli zwiększono o . Obliczymy, o ile procent wzrosła objętość tej kuli.
Rozwiązanie
Niech będzie długością promienia kuli.
Wówczas objętość tej kuli wynosi:
.
Założmy, że po zwiększeniu długości promienia kuli o otrzymujemy kulę o promieniu .
Zatem:
.
Wtedy objętość tej kuli wynosi:
.
Różnica objętości tych kul wynosi:
.
Wobec tego objętość kuli wzrosła o .
Obliczymy objętość kuli, jeżeli jej pole powierzchni wynosi .
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że .
Zatem do wyznaczenia długości promienia rozwiązujemy równanie:
, czyli
Wobec tego objętość kuli jest równa:
.
Wiadomo, że długości promieni trzech kul są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy , a ich suma wynosi . Wyznaczymy stosunek objętości kuli o najmniejszym promieniu do objętości kuli o największym promieniu.
Rozwiązanie
Jeżeli promienie kul są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy , to ich długości wyznaczają następujące zależności:
,
,
.
Ponieważ suma długości tych promieni wynosi , zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, zatem .
Wobec tego długości promieni tych kul wynoszą odpowiednio:
,
,
.
Zatem stosunek objętości kuli o najmniejszym promieniu do objętości kuli o największym promieniu wynosi:
.
Słownik
bryła obrotowa, która powstaje przez obrót koła wokół osi zawartej w płaszczyźnie koła, do której należy środek koła
miara przestrzeni, jaką zajmuje bryła w przestrzeni trójwymiarowej