Przeczytaj

Już wiesz

Kulą nazywamy zbiór punktów przestrzeni oddalonych nie więcej niż o ustaloną odległość $R$ (promień kuli) od zadanego punktu $O$ (środek kuli). Średnicą $d$ kuli jest cięciwa przechodząca przez środek kuli, zatem $d = 2 R$ .

Pole powierzchni kuli obliczamy ze wzoru:

P = 4 π R^{2}

Objętość kuli

Niech $R$ będzie długością promienia kuli.

RMPlh0YrIidGr

Ilustracja przedstawia kule z zaznaczonym promieniem o długości R oraz z zaznaczonym środkiem w punkcie O.

ObjętośćobjętośćObjętość $V$ kuli obliczamy ze wzoru:

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}

Ciekawostka

Do wyprowadzenia wzoru na objętość kulikulakuli wykorzystuje się analizę matematyczną wraz z rachunkiem całkowym.

Jeżeli mamy dany wzór na objętość kuli, to możemy w łatwy sposób wyprowadzić wzór na jej pole powierzchni poprzez podział powierzchni kuli na jednakowe trójkąty krzywoliniowe.

Przykład 1

Obliczymy objętość kuli, jeżeli jej promień ma długość $\frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $R = \frac{1}{2}$ , zatem objętość kuli jest równa:

$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6} π$ .

Objętość kuli wynosi $\frac{1}{6} π$ .

Przykład 2

Wyznaczymy długość promienia kuli o objętości równej $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $V = \frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ , zatem do wyznaczenia długości promienia $R$ kuli rozwiązujemy równanie:

$\frac{4}{3} {π R}^{3} = \frac{64 \sqrt{2}}{3} π$

$4 R^{3} = 64 \sqrt{2}$

$R^{3} = 16 \sqrt{2}$

$R = 2 \sqrt{2}$ .

Promień kuli ma długość $2 \sqrt{2}$ .

Przykład 3

Promień kuli zwiększono o $20 %$ . Obliczymy, o ile procent wzrosła objętość tej kuli.

Rozwiązanie

Niech $R_{1}$ będzie długością promienia kuli.

Wówczas objętość tej kuli wynosi:

$V_{1} = \frac{4}{3} {π R_{1}}^{3}$ .

Założmy, że po zwiększeniu długości promienia kuli o $20 %$ otrzymujemy kulę o promieniu $R_{2}$ .

Zatem:

$R_{2} = 1, 2 R_{1}$ .

Wtedy objętość tej kuli wynosi:

$V_{2} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(1, 2 R_{1})}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 1, 728 {R_{1}}^{3}$ .

Różnica objętości tych kul wynosi:

$V_{2} - V_{1} = \frac{4}{3} π \cdot 1, 728 {R_{1}}^{3} - \frac{4}{3} {π R_{1}}^{3} = 0, 728 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {R_{1}}^{3} = 72, 8 % \cdot \frac{4}{3} {π R_{1}}^{3}$ .

Wobec tego objętość kuli wzrosła o $72, 8 %$ .

Przykład 4

Obliczymy objętość kuli, jeżeli jej pole powierzchni wynosi $8 π$ .

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że $P = 8 π$ .

Zatem do wyznaczenia długości promienia $R$ rozwiązujemy równanie:

$8 π = 4 π R^{2}$

$R^{2} = 2$ , czyli $R = \sqrt{2}$

Wobec tego objętość $V$ kuli jest równa:

$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{2})}^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ .

Przykład 5

Wiadomo, że długości promieni trzech kul są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $4$ , a ich suma wynosi $18$ . Wyznaczymy stosunek objętości kuli o najmniejszym promieniu do objętości kuli o największym promieniu.

Rozwiązanie

Jeżeli promienie kul są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $4$ , to ich długości wyznaczają następujące zależności:

$R_{1} = x$ ,

$R_{2} = x + 4$ ,

$R_{3} = x + 8$ .

Ponieważ suma długości tych promieni wynosi $18$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x + x + 4 + x + 8 = 18$

$3 x + 12 = 18$

$3 x = 6$ , zatem $x = 2$ .

Wobec tego długości promieni tych kul wynoszą odpowiednio:

$R_{1} = 2$ ,

$R_{2} = 6$ ,

$R_{3} = 10$ .

Zatem stosunek objętości kuli o najmniejszym promieniu do objętości kuli o największym promieniu wynosi:

$\frac{V_{1}}{V_{3}} = \frac{\frac{4}{3} \cdot π \cdot 2^{3}}{\frac{4}{3} \cdot π \cdot 10^{3}} = \frac{2^{3}}{10^{3}} = \frac{1}{125}$ .

Słownik

kula

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót koła wokół osi zawartej w płaszczyźnie koła, do której należy środek koła

objętość

miara przestrzeni, jaką zajmuje bryła w przestrzeni trójwymiarowej

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Objętość kuli

Słownik