Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Obliczenia arytmetyczne

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicywzór skróconego mnożenia na sześcian różnicyWzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia sześcianów niektórych liczb.

Przykład 1

Aby obliczyć sześciany liczb 19, 38, 197 zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

193=20-13=203-3·400·1+3·20·1-13=6859
383=40-23=403-9600+480-23=64000-9128=54872
1973=200-33=2003-360000+5400-33=
=8000000-354627=7645373
Przykład 2

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy sześciany liczb mieszanych 213, 134.

2133=3-233=33-18+ 4-233=13-827=121927
1343=2-143=23-3+38-143=5+2464-164=52364
Przykład 3

Nie wykonując dodawania wykażemy, że liczba M=2197-1521+351-273 jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że 2197=13327=33.

Sprawdzamy jeszcze, że 1521=3·132·3352=3·13·32.

Wynika z tego, że 2197-1521+352-27=13-33=103.

Wtedy:

M=2197-1521+351-273=1033=10

Liczba 10 jest liczbą całkowitą, co należało udowodnić.

Przekształcenia algebraiczne

Wzór a-b3 zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania stopnia trzeciego.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie x3-15x2+75x-125=0.

Rozwiązanie:

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci sześcianu różnicy.

x3-15x2+75x-125=0
x-53=0

Stąd:

x-5=0
x=5

Rozwiązaniem równania jest liczba 5.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie x3-5x2+8x-4=0.

Rozwiązanie:

Przekształcamy lewą stronę równania tak, aby otrzymać „rozwinięcie” sześcianu różnicy i kwadratu różnicy.

x3-5x2+8x-4=0
x3-6x2+12x-8+x2-4x+4=0

„Zwijamy” sumy w nawiasach odpowiednio w sześcian różnicy i kwadrat różnicy.

x-23+x-22=0

Wyłączamy wspólny czynnik (czyli x-22) przed nawias.

x-22x-2+1=0
x-22x-1=0

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

x-2=0 lub x-1=0

x=2 lub x=1

Odpowiedź:

Równanie ma dwa pierwiastki 12 (pierwiastek podwójny).

Wzór a-b3 jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 6

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie

M=4x3-24x3y+48x3y2-32x3y32-8y+8y2x3-2x3y

Rozwiązanie:

W liczniku wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli 4x3. W mianowniku z pierwszego nawiasu wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli 2. Z drugiego nawiasu wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, czyli x3.

M=4x31-6y+12y2-8y32·1-4y+4y2·x3·1-2y

Skracamy.

M=2·1-6y+12y2-8y31-4y+4y21-2y

Zauważmy, że 1-6y+12y2-8y3=1-2y31-4y+4y2=1-2y2.

Zatem:

M=2·1-2y31-2y2·1-2y

Ponownie skracamy.

M=2

Dowodzenie twierdzeń

Dowodząc twierdzenia zapisanego za pomocą wyrażeń arytmetycznych lub algebraicznych, nie zawsze łatwo jest rozpoznać, że warto skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy. W wielu wypadkach należy najpierw odpowiednio „rozpisać” dane wyrażenie.

Przykład 7

Wykażemy, że 142+203=4-20-1423.

Rozwiązanie:

Zapisujemy liczbę 142+20 w postaci, która powoli nam stwierdzić, że dane wyrażenie jest sześcianem pewnego wyrażenia.

142+20=122+22+12+8=8+122+12+22=2+23

Podobnie przekształcamy liczbę 20-142. Tym razem „rozpisujemy” wyrażenie tak, aby pokazać, że jest to sześcian różnicy.

20-142=8+12-122-22=8-122+12-22=2-23

Stąd:

142+203=4-20-1423
2+233=4-2-233

Ponieważ a3=a, zatem:

2+2=4-2+2
2+2=2+2

W wyniku przekształceń równoważnych otrzymaliśmy równość prawdziwą, czyli równość 142+203=4-20-1423 jest tożsamością, co należało wykazać.

Przykład 8

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c równość a-b3+b-c3+c-a3=3a-bb-cc-a jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Przekształcimy lewą stronę równości, wykonując odpowiednie działania.

L=a3-3a2b+3ab2-b3+b3-3b2c+3c2b-c3+
+c3-3c2a+3a2c-a3
L=-3a2b+3ab2-3b2c+3c2b-3c2a+3a2c
L=3·-a2b+ab2-b2c+c2b-c2a+a2c

Przekształcimy teraz prawą stronę równości.

P=3·a-bbc-ba-c2+ca
P=3·abc-ba2-ac2+a2c-b2c+b2a+bc2-abc
P=3·-ba2-ac2+a2c-b2c+b2a+bc2
L=P

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy
wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy

sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego, minus sześcian drugiego wyrażenia