Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tej lekcji zajmiemy się głównie dowodzeniem twierdzeń.

Przykład 1

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba n2-n jest parzysta.

Sprawdźmy najpierw na kilku przykładach, czy teza tego twierdzenia jest spełniona:

Liczba całkowita n

Wartość wyrażenia n2-n

Odpowiedź

4

42-4=12

2|12

3

32-3=6

2|6

0

02-0=0

2|0

-5

-52--5=30

2|30

-6

-62--6=36

2|36

We wszystkich sprawdzonych przypadkach teza jest spełniona, ale nawet gdybyśmy sprawdzili dużo więcej liczb naturalnych n, nie byłby to dowód twierdzenia.

Potrzebujemy rozważania ogólnego.

Dowód:

Zauważmy, że n2-n=nn-1, co oznacza, że n2-n jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych.

Ponieważ co druga liczba całkowita jest parzysta, więc dokładnie jedna z liczb nn-1 jest podzielna przez 2.

Iloczyn liczby parzystej przez dowolną liczbę całkowitą jest parzysty, zatem liczba nn-1=n2-n również jest parzysta.

Przykład 2

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba n3-n jest podzielna przez 6.

Ponownie sprawdzimy tezę twierdzenia dla kilku liczb całkowitych n:

Liczba całkowita n

Wartość wyrażenia n3-n

Odpowiedź

4

43-4=60

6|60

3

33-3=24

6|24

0

03-0=0

6|0

-5

-53--5=-120

6|-120

-6

-63--6=-210

6|-210

Dla rozważanych liczb teza jest spełniona. Potrzebujemy jednak dowodu.

Dowód:

Zauważmy, że n3-n=nn2-1=nn-1n+1 – przy tym przekształceniu skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia a2-b2=a-ba+b.

Zatem rozważane wyrażenie jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych: n-1, n, n+1.

Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych przynajmniej jedna jest parzysta (albo jest to liczba n, albo liczby n-1n+1).

Ponadto wśród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna dzieli się przez 3.

Ponieważ liczby 23 są względnie pierwsze, to iloczyn liczb, z których jedna jest podzielna przez 2 i jedna jest podzielna przez 3, dzieli się przez 6.

Przykład 3

Udowodnimy, że równanie x3-x-1111=0 nie jest spełnione przez żadną liczbę całkowitą.

Dowód:

Zauważmy, że podane równanie można przekształcić do postaci xx-1x+1=1111.

Dla dowolnej liczby całkowitej x lewa strona równania jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, co oznacza, że jest podzielna przez 3.

Prawa strona równania nie dzieli się przez 3, zatem otrzymujemy sprzeczność, bo liczba podzielna przez 3 nie może być równa liczbie niepodzielnej przez 3.

Oznacza to, że wyjściowe równanie nie jest spełnione przez żadną liczbę całkowitą.

RfbcWDt84BrDq1
Diofantos
Źródło: nieznany, dostępny w internecie: www.ru.wikipedia.org.

Powyższe równanie jest przykładem równania diofantycznegorównanie diofantycznerównania diofantycznego, czyli równania, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych (lub jego podzbiorach). Równania diofantyczne swoją zawdzięczają greckiemu matematykowi z III wieku n.e. DiofantosDiofantosDiofantos jest znany głównie ze swojego dzieła Arytmetyka, w którym opisywał sposoby rozwiązywania równań i zadań tekstowych prowadzących do równań.

Uważany jest za ojca języka algebraicznego, choć swoje zadania rozwiązywał głównie opisowo.

Przykład 4

Wykażemy, że różnica czwartych potęg dwóch liczb całkowitych różniących się o 2 jest podzielna przez 16.

Dowód:

Mamy do wykazania, że dla dowolnej liczby całkowitej n, n4-n-24 dzieli się przez 16.

Korzystając ze wzoru a2-b2=a-ba+b możemy wykonać następujące przekształcenia

n4-n-24=n22-n-222=n2-n-22·n2+n-22=

=n-n-2·n+n-2·n2+n-22=

=2·2n-2·n2+n-22=

Korzystając ze wzoru:

a-b2=a2-2ab+b2

możemy kontynuować przekształcanie:

=4·n-1n2+n2-4n+4=4·n-12n2-4n+4=

=8·n-1n2-2n+2

Zauważmy teraz, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n-1 jest liczbą parzystą.

Zaś jeśli n jest liczbą parzystą, to n2-2n+2 jest liczbą parzystą.

Zatem niezależnie od parzystości liczby n któryś z nawiasów n-1 lub n2-2n+2 jest parzysty. Iloczyn liczby parzystej i liczby 8 jest podzielny przez 16.

Ważne!

Iloczyn kolejnych liczb naturalnych począwszy od liczby 1 do liczby n oznaczamy n! i czytamy n silniasilniasilnia.

Na przykład: 1!=1, 3!=123=6, 6!=123456=720.

Przykład 5

Udowodnimy, że liczba 26! dzieli się przez 1000000.

Dowód:

Liczba 26! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 26.

Wśród czynników znajdują się liczby 5, 10, 15, 2025 oraz liczby 2, 46.

Iloczyn wybranych czynników to 521562541020=1090100200=18000000.

Ponieważ spośród czynników liczby 26! można wybrać takie, których iloczyn jest równy liczbie 18000000, która jest podzielna przez 1000000, więc liczba 26! również jest podzielna przez 1000000.

Przykład 6

Udowodnimy, że liczba 315+316+317 jest podzielna przez 13.

Dowód:

Wykonajmy następujące przekształcenia:

315+316+317=315+31+15+32+15=315+3315+32315=

=315·1+3+9=31513

Ponieważ liczba 315 jest całkowita, więc iloczyn 31513 jest liczbą podzielną przez 13.

Słownik

Diofantos
Diofantos

grecki matematyk żyjący w Aleksandrii w III w n.e; znany głównie ze swojego dzieła w 13 księgach zwanego Arytmetyka, w którym opisuje zagadnienia związane z rozwiązywaniem równań

równanie diofantyczne
równanie diofantyczne

równanie, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych (lub jego podzbiorach)

silnia
silnia

działanie jednoargumentowe, które liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich niewiększych od danej liczby, ponadto liczbie zero przyporządkowuje liczbę 1; silnię oznaczamy wykrzyknikiem: n!; czytamy “n silnia”; zatem 0!=1, 1!=1, n!=123...n dla liczb naturalnych n większych od 1