Warto przeczytać

Historia stałej Plancka

Historia stałej PlanckaStała Planckastałej Plancka sięga końcówki XIX wieku. Okazało się wtedy, że opisanie obserwowanego widma promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez rozgrzane obiekty (Rys. 1.) nie dało się pogodzić z obowiązującą wówczas klasyczną fizyką.

R1JXkPcSsBTxK

Rys. 1. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych, gdzie oś wartości skierowana pionowo w górę oznacza energię promieniowania elektromagnetycznego ciała w funkcji długości fali elektromagnetycznej opisaną małą literą e i w nawiasie małą grecką literą lambda. Oś pozioma skierowana w prawo oznaczona jest jako długość fali elektromagnetycznej i opisana małą grecką literą lambda. Funkcja, narysowana w postaci niebieskiej linii, początkowo rośnie osiągając dla pewnej długości fali elektromagnetycznej wartość maksymalną, a następnie zaczyna zmniejszać swoje wartości dążąc asymptotycznie do zera.

Widmo to zostało w 1900 r. opisane przez Maxa Plancka w oparciu o założenia, które dały początek fizyce kwantowej. Uczony przyjął, że ścianki ciała doskonale czarnegociało doskonale czarneciała doskonale czarnego składają się z oscylatorów, które mogą emitować i pochłaniać energię porcjami proporcjonalnymi do częstotliwości swoich drgań. Stałą proporcjonalności wyznaczył z danych doświadczalnych i na jego cześć została ona nazwana stałą Plancka.
Uzyskana przez Plancka wartość stałej wynosiła 6,55×10Indeks górny -34^-34 J⋅s i różniła się o 1,2% od obecnie przyjętej wartości. 
Szczegóły dotyczące pracy i postulatów Plancka możesz znaleźć w e‑materiałach „Prawo Plancka” oraz „Kim był Max Karl Planck?”.

RZoIaActy1155

Rys. 2. Czarno‑białe zdjęcie poglądowe przedstawia portret Maxa Plancka. To mężczyzna w średnim wieku, łysiejący, z wąsami. Jest elegancko ubrany w ciemną marynarkę, kamizelkę w tym samym kolorze, białą koszulę i muszkę. Mężczyzna patrzy wprost na fotografującego, nosi małe okrągłe okulary.

Teorie i prawa wykorzystujące stałą Plancka

O doniosłości znaczenia stałej PlanckaStała Planckastałej Plancka świadczy fakt, iż występuje ona w wielu modelach opisujących zjawiska mikroświata. Choć większość z nich nie jest ujęta w szkolnym programie nauczania, to o niektórych warto poczytać.

1. Efekt fotoelektryczny zewnętrzny - energia fotonówfotonfotonów

Efektem fotoelektrycznym nazywamy zjawisko emisji elektronów z metalu pod wpływem padającego promieniowania elektromagnetycznego. Zgodnie z obserwacjami, energia wybitych elektronów nie zależy od intensywności promieniowania, czyli od amplitudy fali, lecz jedynie od jej częstotliwości. Ponadto istnieje pewna graniczna częstotliwość, poniżej której efekt nie zachodzi. Obserwacji tej nie dało się pogodzić z falowym opisem światła. 
Wyjaśnienie zjawiska zawdzięczamy Albertowi Einsteinowi. Polegało ono na założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne składa się z kwantów – porcji energii, której wartość jest proporcjonalna do częstotliwości promieniowania.

Kwanty te nazwano fotonamifotonfotonami. Stała proporcjonalności, wyznaczona z danych doświadczalnych, okazała się być zgodna z wartością stałej PlanckaStała Planckastałej Plancka.

R1eu7UYp6o6rV

Rys. 3. Zdjęcie poglądowe przedstawia portret Alberta Einsteina. To uśmiechnięty mężczyzna w średnim wieku z bujną fryzurą w lekkim nieładzie, z wąsem. Jest elegancko ubrany w marynarkę, kamizelkę, białą koszulę i krawat. Zdjęcie jest monochromatyczne w kolorze sepii.

2. Model Bohramodel atomu BohraModel Bohra – kwantowy model atomu

Niels Bohr zaproponował pierwszy kwantowy model atomu w 1913 r., modyfikując klasyczny model Rutherforda. W modelu tym naładowane ujemnie elektrony krążyły po orbitach wokół dodatnio naładowanego jądra. Zgodnie jednak z elektrodynamiką klasyczną ładunek poruszający się po okręgu powinien emitować promieniowanie elektromagnetyczne, czyli wytracać swoją energię. W takim modelu elektron powinien spiralnie spadać na jądro, czego oczywiście nie obserwujemy.
Bohr rozwiązał ten problem nawiązując do pracy Plancka. Elektron w atomie Bohra mógł istnieć tylko w dobrze zdefiniowane stanach „dozwolonych”, określonych za pomocą liczby naturalnej $n$. Stany te, na mocy postulatu, były stabilne. Z każdym takim dozwolonym stanem (zwanym często orbitą) związana była konkretna wartość energii atomu, wyrażana m.in. za pomocą stałej Plancka. Związek ten, dla atomu wodoru, ma postać:

RNIPg5HdOaega

Rys. 4. Czarno‑białe zdjęcie poglądowe przedstawia portret Nielsa Bohra. To młody, elegancki mężczyzna, ubrany w jasnoszarą marynarkę, białą koszulę i krawat.

3. Zjawisko Comptona - zderzenia fotonów z elektronami

W kilka lat po odkryciu promieni X zaobserwowano, że wskutek ich zderzeń z elektronami następuje obniżenie energii fotonów w wiązce promieni X. W 1922 roku, po kilkuletnich badaniach nad tym zjawiskiem, Arthur Compton przedstawił jego teoretyczne wyjaśnienie. Przyjął przy tym, że każdy foton ma pęd $p$ odwrotnie proporcjonalny do długości fali $\lambda$ wiązki promieni X:

Przyjął także, że zderzenie pojedynczego fotonu ze swobodnym elektronem jest sprężyste - na podobieństwo zderzenia sztywnych kul - więc obowiązuje w takim zderzeniu zasada zachowania energii kinetycznej oraz - oczywiście - zasada zachowania pędu. Wyprowadzone na tej podstawie wyrażenia doskonale opisywały wyniki pomiarów.

R19SZaHECs7X1

Rys. 5. Czarno‑białe zdjęcie poglądowe przedstawia Arthura Comptona. To młody mężczyzna z gładko zaczesanymi włosami i wąsem. Jest elegancko ubrany w marynarkę, białą koszulę i krawat. Mężczyzna patrzy na fotografującego z lekkim uśmiechem.

4. Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Jednym z najbardziej znanych efektów kwantowych, niemających swego odpowiednika w mechanice klasycznej, jest zasada nieoznaczoności lub nieokreśloności. Wprowadzona w 1927 r. przez Wernera Heisenberga głosi, że istnieją pary wielkości fizycznych, których jednoczesny pomiar w obrębie jednego układu nie może być dowolnie precyzyjny. Zasada ta ma postać nierówności i określa - za pomocą stałej Plancka - najmniejszą możliwą wartość iloczynu nieokreśloności tych wielkości. Dla przykładowej takiej pary (współrzędna $x$ położenia, współrzędna $p_{\mathrm{x}}$ pędu), zasadę nieoznaczoności zapisujemy w postaci

Oznacza to, że jedną z tych wielkości możemy zmierzyć dowolnie dokładnie, z dowolnie małą nieokreślonością $\mathrm{\Delta }x$ bądź $\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}$. Jednak przeprowadzenie takiego pomiaru wpłynie na najmniejszą możliwą wartość nieokreśloności tej drugiej wielkości. Przykład: próba dokładnego ustalenia, w jakiej odległości od jądra atomowego znajduje się elektron, zakończy się utratą informacji o składowej jego pędu w kierunku „do jądra - od jądra”.

RvDfitJ5MEBiU

Rys. 6. Czarno‑białe zdjęcie poglądowe przedstawia Wernera Heisenberga. To młody, szeroko uśmiechnięty mężczyzna, w płaszczu, marynarce, białej koszuli, krawacie i w kapeluszu.

Nagroda Nobla z fizyki w 1932 r. została przyznana 31‑letniemu Wernerowi Heisenbergowi „Za wkład w rozwój mechaniki kwantowej...”.

5. Moment pędu i spin w mechanice kwantowej

Moment pędu, czyli miara ilości ruchu obrotowego, to wielkość znana w fizyce od ponad dwustu lat. W latach dwudziestych XX wieku powstała mechanika kwantowa. Okazało się, że wzorcem wartości momentu pędu na poziomie atomowym - na przykład momentu pędu elektronu w atomie - jest stała Plancka. W każdym dozwolonym stanie, określanym naturalną liczbą 'l', wartość 'L' orbitalnego momentu pędu elektronu w atomie jest proporcjonalna do $h$:

Na początku lat dwudziestych fizycy wpadli na trop zupełnie nowej cechy elektronów - spinu. Po kilku latach badań i prac teoretycznych okazało się, że spin opisuje własny, wewnętrzny momentu pędu elektronu Ma więc te same jednostki, podlega wspólnej zasadzie zachowania i wyraża się przez stałą Plancka w podobny sposób, jak moment pędu orbitalny.  Okazało się także, że wszystkie cząstki na poziomie atomowym i subatomowym mają określony spin.

Nagrodami Nobla za odkrycia związane bezpośrednio z rozwojem mechaniki kwantowej uhonorowani zostali także:

• w 1929 r. Louis de Broglie

• w 1933 r. Paul Dirac i Erwin Schroedinger

• w 1945 r. Wolfgang Pauli

• w 1954 r. Max Born

R1dM4Nrnc4djN

Rys. 7. Równanie falowe Schrodingera przybiera postać: Iloczyn czynnika urojonego mała litera i oraz stałej Plancka kreślonej mała litera h, której górna część przekreślona jest ukośną kreską pomnożoną przez pochodną funkcji falowej mała grecka litera psi po czasie, jest równa iloczynowi operatora Hamiltona wielka litera H z daszkiem u góry i funkcji falowej mała grecka litera psi.

Wyznaczanie wartości stałej Plancka

Wartość stałej PlanckaStała Planckastałej Plancka można wyznaczyć badając widmo promieniowania ciała doskonale czarnegociało doskonale czarneciała doskonale czarnego. Po podaniu opisu tego promieniowania, na podstawie dostępnych danych doświadczalnych, tak właśnie obliczył jej wartość Planck. 
Inną możliwością jest jej wyznaczenie w oparciu o pomiar energii kinetycznej elektronów wybijanych w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym.

Takie pomiary prowadzono nieprzerwanie do końca drugiej dekady XXI wieku. Gdy podczas Generalnej Konferencji Miar i Wag (CGPM) 16 listopada 2018 roku ustalono, że stała PlanckaStała Planckastała Plancka określona zostaje jako wartość dokładna, czyli pozbawiona doświadczalnych niepewności, przyjmowano

Decyzją Konferencji ustalono, że wartość stałej Plancka wynosi:

Łatwo więc zauważyć, że zrezygnowano z dokładności opiewającej na dziesięć cyfr znaczących, w tym dwie ostatnie obarczone niepewnością, na rzecz dziewięciu cyfr znaczących, z których wszystkie są pewne.

Określenie stałej PlanckaStała Planckastałej Plancka jako wielkości bez niepewności wiązało się z potrzebą określenia nowego wzorca kilograma. Uznano, że jednostki miar nie powinny być zdefiniowane za pomocą wybranych przedmiotów, które wraz z upływem czasu mogą ulegać zmianom.

Zdecydowano, że kilogram zostanie zdefiniowany za pomocą stałych fizycznych, w tym stałej Plancka, których wartości, dzięki zaawansowanym technologiom metrologicznym, są znane z bardzo dużą dokładnością i są - tak sądzimy - niezmienne w czasie.

R1YiJuvTIw9BX

Rys. 8. Ilustracja prezentuje diagram kołowy, przedstawiający graficznie układ jednostek opisany wewnątrz symbolem wielkimi literami SI. Wokół tego symbolu znajdują się dwa kolorowe, współśrodkowe okręgi podzielone na siedem części. W zewnętrznym zapisane są jednostki układu "SI", a w wewnętrznym stałe fizyczne, na podstawie których jednostki te zostały określone. Poszczególne części diagramu opisują (zgodnie z ruchem wskazówek zegara): mol jako jednostka termodynamiczna określająca objętość gazu, wyznaczona na podstawie stałej Avogadra opisanej wielką literą N z indeksem dolnym wielka litera A. Kandela opisana małymi literami "cd", będąca jednostką światłości i wyznaczona na podstawie stałej o takiej samej nazwie i opisana wielką literą K z indeksem dolnym małe litery cd. Kilogram zapisany małymi literami kg, będący jednostką masy, której wartość wyznaczono na podstawie wartości stałej Plancka i oznaczonej małą literą h. Metr opisany małą literą m, będący jednostką długości, której wartość wyznaczono na podstawie prędkości światła opisanej małą literą c. Sekunda opisana małą literą s, będąca jednostką czasu, której wartość wyznaczono na podstawie zmiany częstotliwości opisanej wielką grecką literą delta i małą grecką litera ni. Amper opisany wielką literą A, będący jednostką natężenia prądu, którego wartość wyznaczono na podstawie ładunku elektronu opisanego małą literą e. Kelvin opisany wielką literą K, będący jednostką temperatury, której wartość wyznaczono na podstawie stałej Boltzmana opisanej małą literą k.

Znaczenie stałej Plancka

Zwyczajowo podaje się jednostkę stałej PlanckaStała Planckastałej Plancka jako dżul razy sekunda. Ma więc ona wymiar iloczynu energii i czasu. 
Dla podkreślenia, że jest to stała charakterystyczna dla zjawisk zachodzących w skali atomowej i subatomowej, często zapisujemy ją korzystając z jednostki energii, charakterystycznej dla tych właśnie zjawisk. Tą jednostką jest elektronowolt.

Tak więc $h=6,63·{10}^{-34}\mathrm{J}·\mathrm{s}=4,14·{10}^{-15}\mathrm{eV}·\mathrm{s}.$

Niech wiązka światła pomarańczowego ma długość fali (w próżni) $\lambda =\mathrm{600\; nm}$, czyli częstotliwość $f=5·{10}^{14}\mathrm{Hz}$. Energia fotonu z takiej wiązki, obliczona z wyrażenia

może być podana jako $3,3·{10}^{-19}\mathrm{J}$ albo jako $\mathrm{2,1\; eV.}$ Prostszy i bardziej komunikatywny jest ten drugi zapis - wystarczy się nieco oswoić ze skalą elektronowoltową dla energii.

Ale stała Plancka nie służy jedynie przeliczaniu częstotliwości czy długości fali elektromagnetycznej na energię fotonu. Wspomnieliśmy wyżej o zjawisku Comptona. Obliczmy pęd pojedynczego fotonu w wiązce promieni X o długości fali $\lambda ={10}^{-9}\text{ m}$.

Zwróć uwagę na rachunek jednostek. Wynika z niego, że wymiar stałej Plancka, wyrażony przez jednostki podstawowe układu SI, to kilogram razy metr kwadrat dzielone przez sekundę. Jednostki stałej Plancka to nie tylko dżul razy sekunda, to także iloczyn jednostek długości i pędu, czyli wymiar momentu pędu - to zauważyliśmy już wcześniej.
Czy wartość tego pędu jest duża czy mała? W mikroświecie - całkiem sporo. Proton o masie ok. ${10}^{-27}\mathrm{kg}$ miałby prędkość rzędu kilkuset metrów na sekundę - jak „przeciętna” cząsteczka tlenu czy azotu w powietrzu w temperaturze pokojowej. Elektron, o masie rzędu ${10}^{-30}\mathrm{kg}$, miałby prędkość rzędu kilkuset kilometrów na sekundę. 
Twoja zaś prędkość, przy masie kilkudziesięciu kilogramów, miałaby wartość ok. ${10}^{-27}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Z taką prędkością daleko nie zajdziesz - Twoje życie raczej nie potrwa dłużej niż $3·{10}^9\text{ sekund}$ - sprawdź to i oblicz swoje hipotetyczne przemieszczenie w tym czasie.

Nie ulega wątpliwości, że używanie stałej Plancka do opisu zjawisk zachodzących w skali makroskopowej, w skali „ludzkiej”, jest niezbyt wygodne. Stała $h$ przydaje się do opisu zachowania lub struktury pojedynczych cząsteczek chemicznych, komórek elementarnych w kryształach, atomów, protonów, neutronów i elektronów, a także innych cząstek elementarnych.

Słowniczek