Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Własności prawdopodobieństwa

Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa oraz z własności działań na zdarzeniach, wynikają własności prawdopodobieństwawłasności prawdopodobieństwawłasności prawdopodobieństwa, które przedstawimy poniżej.

Własności prawdopodobieństwa
Twierdzenie: Własności prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a P niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach AΩBΩ. Wówczas:

  1. PΩ=1

  2. P=0

  3. 0PA1

  4. Jeśli AB, to PAPB

Dla przykładu udowodnimy jedną z własności podanych w twierdzeniu.

Przykład 1

Udowodnimy, że P=0.

Wiadomo, że dla dowolnego zdarzenia A:

A=A=A

Na podstawie aksjomatycznej teorii prawdopodobieństwa wiemy, że dla każdej pary wykluczających się zdarzeń AB tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, zachodzi równość

PAB=PA+PB

Zatem:

PA=PA

PA=PA+P

Odejmując zapisane równości stronami, otrzymujemy

0=P

C. n. d

Przykład 2

Rzucamy dwiema kostkami do gry.

  • Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A – suma liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równa 2.
    Najmniejsza liczba oczek na każdej z kostek to 1, zatem zawsze w rzucie dwiema kostkami suma liczb wyrzuconych oczek będzie co najmniej równa 2. A jest zdarzeniem pewnym.
    PA=1

  • Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B – suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 13.
    Największa liczba oczek na każdej z kostek to 6, zatem zawsze w rzucie dwiema kostkami suma liczb wyrzuconych oczek będzie nie większa niż 12. B jest zdarzeniem niemożliwym.
    PB=0

Poznamy teraz bardzo ważne twierdzenie, określające prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia przeciwnego do danego zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
Twierdzenie: Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Niech Ω będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a P niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach AΩA'Ω.

Jeśli zdarzenia AA' są zdarzeniami przeciwnymi, to

PA'=1-PA
Przykład 3

Obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, gdy PA'=0,3.

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

PA'=1-PA

Stąd:

PA=1-PA'

PA=1-0,3=0,7

Przykład 4

Każdy z 12 przyjaciół urodził się w innym miesiącu. Obliczymy prawdopodobieństwo, że losowo wskazana osoba z tej grupy nie urodziła się w lipcu.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że żadna z osób nie urodziła się w lipcu.

Wskazujemy jedną osobę spośród 12. Zatem:

Ω=12

Zdarzeniu A – sprzyjają zdarzenia: wylosowana osoba urodziła się w styczniu, lutym, marcu, kwietniu, maju, czerwcu, sierpniu, wrześniu, październiku, listopadzie lub w grudniu. Mamy więc kilka możliwości. Natomiast zdarzeniu przeciwnemu – wskazana osoba urodziła się w lipcu – odpowiada tylko jedna możliwość. Obliczamy więc najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A.

PA'=112

Stąd

PA=1-112=1112

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wskazana osoba nie urodziła się w lipcu jest równe 1112.

Powyższy przykład był dość prostym zadaniem na zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, ale jak wkrótce się przekonasz, wzór ten ułatwia rozwiązywanie wielu skomplikowanych problemów probabilistycznych.

Przykład 5

Rzucamy trzy razy sześcienną kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że choć raz uzyskaliśmy liczbę oczek równą 3 lub 4.

Liczba zdarzeń elementarnych w rozpatrywanym doświadczeniu jest równa:

Ω =6·6·6=216

Rozważmy zdarzenie przeciwne: A' – ani razu nie wypadła ani liczba oczek równa trzy, ani cztery.

Wtedy może wypaść każda z pozostałych czterech liczb oczek (1, 2, 5 lub 6).

A'=4·4·4=64

Zatem:

PA'=64216

Na mocy twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego, otrzymujemy:

PA=1-64216=152216=1927

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że choć raz uzyskaliśmy liczbę oczek równą 3 lub 4 jest równe 1927.

Przed nami własność prawdopodobieństwa, związana z prawdopodobieństwem sumy zdarzeń.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Niech Ω będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a P niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach AΩBΩ, wówczas

PAB=PA+PB-PAB

Jeśli zdarzenia AB wykluczają się, czyli AB=, to

PAB=PA+PB
Przykład 6

Wśród 50 przechodniów przeprowadzono ankietę, w której zapytano o ulubiony smak lodów. Połowa osób odpowiedziała, że najbardziej lubi lody waniliowe, 80% pozostałych odpowiedziało, że lubi lody czekoladowe. A dwie osoby stwierdziły, że lubią i lody waniliowe, i czekoladowe.

Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że losowo wskazana osoba z tej grupy lubi lody waniliowe lub czekoladowe.

Oznaczmy:
W – zdarzenie, że losowo wskazana osoba lubi lody waniliowe,
C – zdarzenie, że losowo wskazana osoba lubi lody czekoladowe,

Wskazujemy jedną z 50 osób, zatem Ω=50.

Liczba osób, która lubi lody waniliowe jest równa: 0,5·50=25.

Liczba osób, która lubi lody czekoladowe jest równa: 0,8·25=20.

Liczba osób, która lubi i lody waniliowe i czekoladowe jest równa 2.

Zatem:

W=25, C=20, WC=2.

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

PWC=PW+PC-PWC

PWC=2550+2050-250=4350

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wskazana osoba z tej grupy lubi lody waniliowe lub czekoladowe jest równe 4350.

Przykład 7

Wiadomo, że AΩ, BΩ, AB=PA=13, PB=14. Obliczymy PAB.

Zauważmy, że

PA+PB=13+14=712.

Zdarzenia AB wykluczają się. Zatem

PAB=PA+PB=712.

Przykład 8

W torebce jest 10 cukierków, w tym cztery to cukierki miętowe. W sposób losowy wyjmujemy z torebki trzy cukierki. Obliczymy prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa wyjęte cukierki to cukierki miętowe.

Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru dziesięcioelementowego. Zatem

Ω=103=10!3!·7!=8·9·106=120

Zdarzenie polegające na wyciągnięciu co najmniej dwóch cukierków miętowych, możemy rozpatrywać jako sumę  zdarzeń:

A – wyciągamy dwa cukierki miętowe,

B – wyciągamy trzy cukierki miętowe.

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A jest równa:

42·61=4!2!·2!·6=36

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B jest równa:

43=4

Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia AB, korzystamy ze wzoru:

PAB=PA+PB

PAB=36120+4120=40120=13

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa wyjęte cukierki to cukierki miętowe, jest równe 13.

Słownik

własności prawdopodobieństwa
własności prawdopodobieństwa

niech Ω będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a P niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach AΩBΩ; wówczas:

  1. PΩ=1

  2. P=0

  3. 0PA1

  4. Jeśli AB, to PAPB