Średnie

Średnie to liczby, które określają różne rodzaje związków, jakie mogą zaistnieć między co najmniej trzema liczbami.

Średnia arytmetyczna dwóch liczb $a$, $c$ nazywana jest potocznie średnią; jest to połowa sumy tych liczb: $b=\frac{a+c}{2}$.

Liczba $b$ jest średnią arytmetyczną liczb $a$ i $c$ tylko wtedy, gdy spełnia warunek $a-b=b-c$.

Średnią arytmetyczną $\mathit{n}$ liczb $a_1,a_2,\dots ,a_n$ nazywamy liczbę $\overline{a}=\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$. Średnia arytmetyczna $n$ liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę $n$.

Średnią ważoną $\mathit{n}$ liczb $a_1,a_2,\dots ,a_n$, z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę $w_1,w_2,\dots ,w_n$, nazywamy liczbę $\frac{w_1·a_1+w_2·a_2+\dots +w_n·a_n}{w_1+w_2+\dots +w_n}$.

Wartość średniej ważonej zależy od danych, którym przypisano określone wagi, większy udział w określeniu średniej ważonej mają dane o większej wadze niż te, którym przypisano mniejsze wagi.

Przykład 1

Rc8xAErzNt3MN1

Zdjęcie przedstawia dziewczynę siedzącą przy stole, patrzącą na laptopa i przygryzającą ołówek.

Uczeń ma takie oto oceny:

• prace klasowe: $4$, $2$,

• kartkówki: $4$, $3$,

• prace domowe: $5$, $5$.

Ocena końcowa z przedmiotu jest wyznaczona w oparciu o średnią arytmetyczną bądź ważoną. Zobaczmy co jest korzystniejsze dla ucznia ?

Jeśli wszystkie oceny mają takie same wagi to ich średnia arytmetyczna wynosi $\frac{4+2+4+3+5+5}{6}=\frac{23}{6}\approx 3,83$.

Uczeń domaga się więc czwórki.

Gdyby jednak były wprowadzone wagi dla ocen np. za pracę klasową waga wynosi $5$, za kartkówkę $3$, a za pracę domową tylko $1$, to średnia ważona wynosi:

$\frac{5·4+5·2+3·4+3·3+1·5+1·5}{5+5+3+3+1+1}=\frac{5·(4+2)+3·(4+3)+1·(5+5)}{18}=\frac{61}{18}\approx 3,38$

Teraz sytuacja wygląda inaczej, a oceną sugerowaną jest $3$....

Mediana

Jeżeli mamy $n$ liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$, to medianę zestawu tych liczb $M$ określamy następująco: $M=\left\{\begin{array}{ll}{a}_{\frac{n+1}{2}}& \text{ jeżeli }n\text{ jest liczbą nieparzystą }\\ \frac{a_{{\displaystyle \frac{n}{2}}}+a_{\frac{n}{2}+1}}{2},& \text{ jeżeli }n\text{ jest liczbą parzystą }\end{array}\right.$

Inaczej mówiąc, gdy uporządkujemy $n$ liczb w niemalejący ciąg, to:

• dla nieparzystej liczby wyrazów medianą nazywać będziemy środkowy wyraz (nie mylić ze średnią!),

• gdy zaś $n$ jest parzyste, to mediana ma wartość średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów tego ciągu.

Wariancja

Jeżeli mamy $n$ liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$, to wariancję ${\sigma }^2$ określamy następująco: ${\sigma }^2=\frac{{\left(a_1-\overline{a}\right)}^2+{\left(a_2-\overline{a}\right)}^2+\dots +{\left(a_n-\overline{a}\right)}^2}{n}$,

gdzie $\overline{a}=\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$ (średnia arytmetyczna).

Odchylenie standardowe $\sigma$ z $n$ uporządkowanych danych $a_1,a_2,\dots ,a_n$ jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji: $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$.

Słownik