Przeczytaj

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$ .

W trakcie lekcji omówimy własności oraz będziemy szkicować wykresy funkcji logarytmicznych po przesunięciu ich w górę lub w dół wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych.

Naszkicujmy wykresy funkcji zadanych wzorami $f (x) = \log_{3} x$ oraz $g (x) = \log_{3} x - 1$ .

W tym celu w tabeli przedstawmy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$g (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

Wykresy naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych.

RFrYYh0TYju54

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji f jest łukowatą krzywą z lewej strony wypłaszczoną do ujemnej półosi O Y. Wykres ten przebiega przez punkt wyróżniony nawias 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Wykres biegnie za tym punktem w pierwszej ćwiartce. Dla wartości dodatnich funkcja łagodnie rośnie. Wykres funkcji g również jest łukowatą krzywą wypłaszczającą się do ujemnej półosi O Y. Wykres ten przebiega przez wyróżniony punkt nawias 3 średnik 0 zamkniecie nawiasu i biegnie dalej w pierwszej ćwiartce. Dla dodatnich wartość funkcja łagodnie rośnie. W interpretacji graficznej wykres funkcji f znajduje się nieco powyżej wykresu funkcji g, zatem funkcja f rośnie nieco szybciej od g.

Zauważmy, że wykres funkcji $g$ moglibyśmy otrzymać po przesunięciu wykresu funkcji $f$ o $1$ jednostkę w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

Korzystając z wykresów, porównamy własności funkcji $f$ i $g$ :

funkcje $f$ i $g$ mają te same dziedziny oraz takie same zbiory wartości,
funkcje $f$ i $g$ są rosnące i różnowartościowe,
asymptotą wykresów funkcji jest prosta $x = 0$ ,
miejscem zerowym funkcji $f$ jest $1$ , a miejscem zerowym funkcji $g$ jest $3$ ,
$f (x) < 0$ dla $x \in (0, 1)$ , $g (x) < 0$ dla $x \in (0, 3)$ ,
$f (x) > 0$ dla $x \in (1, \infty)$ , $g (x) > 0$ dla $x \in (3, \infty)$ .

Przy przekształceniu $f (x) + q$ wykresu funkcji logarytmicznejprzekształcenie wykresu funkcji $f (x) + q$ przekształceniu $f (x) + q$ wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x$ zmienia się miejsce zerowe funkcji oraz zbiory argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

Jeżeli mamy dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej, to możemy znaleźć wzór, za pomocą którego ta funkcja jest określona.

Przykład 1

Wiadomo, że punkt o współrzędnych $(9, - 1)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x + q$ .

Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz wartość funkcji dla argumentu $\frac{1}{27}$ .

W celu wyznaczenia wartości $q$ rozwiążemy równanie:

$- 1 = \log_{\frac{1}{3}} 9 + q$ .

Z równania otrzymujemy, że $q = 1$ , zatem wzór funkcji jest postaci $f (x) = \log_{3} x + 1$ .

Obliczamy $f (\frac{1}{27}) = \log_{3} \frac{1}{27} + 1 = - 3 + 1 = - 2$ .

Przykład 2

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{5}} x$ . Niech $g (x) = f (x) + 3$ . Obliczymy wartości funkcji $g$ dla argumentów: $\frac{1}{25}$ , $5$ , $25$ , $5 \sqrt{5}$ .

Zauważmy, że funkcja $g$ wyraża się wzorem $g (x) = \log_{\sqrt{5}} x + 3$ , zatem:

$g (\frac{1}{25}) = \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25} + 3 = - 4 + 3 = - 1$

$g (5) = \log_{\sqrt{5}} 5 + 3 = 2 + 3 = 5$

$g (25) = \log_{\sqrt{5}} 25 + 3 = 4 + 3 = 7$

$g (5 \sqrt{5}) = \log_{\sqrt{5}} 5 \sqrt{5} + 3 = 3 + 3 = 6$ .

Przykład 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x + q$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1An4BPl2TOT8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący łukowatą krzywą wypłaszczającą się do ujemnej półosi O Y. Wykres przebiega czwartą i pierwszą ćwiartkę, funkcja jest rosnąca. Na wykresie wyróżniono dwa punkty: nawias 2 średnik 3 zamknięcie nawiasu oraz nawias 4 średnik 4 zamknięcie nawiasu

Z rysunku możemy odczytać, że należą do niego punkty o współrzędnych: $(2, 3)$ i $(4, 4)$ .

Po podstawieniu współrzędnych tych punktów do wzoru funkcji, mamy równania:

$4 = \log_{a} 4 + q$ oraz oraz $3 = \log_{a} 2 + q$ .

Równania przekształcamy do postaci $a^{4 - q} = 4$ oraz $a^{3 - q} = 2$ .

Po podzieleniu tych równań stronami mamy, że $a = 2$ , zatem $2^{4 - q} = 4$ , czyli $q = 2$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = \log_{2} x + 2$ .

Mając dany wykres funkcji logarytmicznej po przesunięciu wzdłuż osi rzędnych, możemy odczytać różne własności tej funkcji.

Przykład 4

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} x - 2$ .

R1T3OfCsFmZsI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący łukowatą krzywą wypłaszczającą się do dodatniej półosi O Y. Wykres przebiega pierwszą ćwiartkę, w której jest niema pionowy oraz czwartą ćwiartkę, w której jest niemal poziomy..

Wyznaczymy:

a) miejsce zerowe tej funkcji,

b) argument dla którego funkcja przyjmuje wartość $- 2$ ,

c) wartość funkcji dla argumentu $25$ .

Rozwiązania:

a) w celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiążemy równanie:

$0 = \log_{\frac{1}{5}} x - 2$ , zatem $x = \frac{1}{25}$

b) z wykresu tej funkcji możemy odczytać, że funkcja $f$ przyjmuje wartość $- 2$ dla argumentu $1$ ,

c) obliczamy $f (25) = \log_{\frac{1}{5}} 25 - 2 = - 2 - 2 = - 4$ .

Ciekawostka

Jeżeli mamy naszkicować wykres funkcji będącej logarytmem iloczynu lub ilorazu, to możemy posłużyć się przesunięciem.

Przykład 5

Jak przekształcić wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log x$ , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \log (\frac{x}{100})$ ?

Zauważmy, że wzór funkcji $g$ możemy zapisać w postaci:

$g (x) = \log (\frac{x}{100}) = \log x - \log 100 = \log x - 2$

Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji $g$ należy wykres funkcji $f$ przesunąć o $2$ jednostki w dół.

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$

przekształcenie wykresu funkcji

f (x) + q

przekształcenie wykresu funkcji

f (x) + q

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $q$ jednostek w górę ( $q > 0$ ) lub o $q$ jednostek w dół ( $q < 0$ )

Wprowadzenie

Aplet

Słownik