Wyznaczymy przykład nierówności z wartością bezwzględną, której zbiorem rozwiązań jest przedział $\left(-3, 11\right)$.

Przy rozwiązaniu zadania skorzystamy z zależności:

• dla dowolnych liczb $a$ oraz $r\ge 0$ zachodzi warunek:

$\left|x-a\right|<r$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a-r<x<a+r$

Wiemy z treści zadania, że $-3<x<11$.

Zatem zgodnie z powyższym warunkiem możemy zapisać układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}a-r=-3\\ a+r=11\end{array}\right.$

Po dodaniu stronami równań otrzymamy $2a=8$ czyli $a=4$.

Po odjęciu stronami równań otrzymamy $-2r=-14$ czyli $r=7$.

Zatem szukana nierówność z wartością bezwzględną to: $\left|x-4\right|<7$.

Rozważając interpretację geometryczną nierówności, której rozwiązaniem jest przedział $\left(-3, 11\right)$, możemy dany przedział zinterpretować jako zbiór punktów na osi liczbowej, których odległość od środka odcinka o początku w punkcie $-3$ i końcu w punkcie $11$ jest mniejsza od połowy długości tego odcinka. Środek odcinka znajduje się w punkcie o współrzędnej $4$, natomiast połowa długości tego odcinka jest równa $7$.

Rj6ZCzlWcnbVA

Ilustracja przedstawia oś liczbową x z oznaczonymi wartościami od minus 3 do jedenastu. Na osi zaznaczony został przedział od minus 3 do 11, który jest obustronnie otwarty. Wewnątrz przedziału zamalowaną kropką zaznaczony został punkt cztery. Odległość od punktu minus 3 do 4 jest równa 7, odległość od 4 do 11 jest również równa siedem.

Zatem nierówność to $\left|x-4\right|<7$.

Wyznaczymy przykład nierówności z wartością bezwzględną, której zbiorem rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierównościzbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $\left(-\infty , -5 \right)\cup \left(1, \infty \right)$.

Przy rozwiązaniu zadania skorzystamy z zależności:

• dla dowolnych liczb $a$ oraz $r\ge 0$ zachodzi warunek:

$\left|x-a\right|>r$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x<a-r$ lub $x>a+r$.

Wiemy, że $x<-5$ lub $x>1$.

Zatem zgodnie z powyższym warunkiem możemy zapisać układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}a-r=-5\\ a+r=1\end{array}\right.$

Po dodaniu stronami równań otrzymamy $2a=-4$ czyli $a=-2$.

Po odjęciu stronami równań otrzymamy $-2r=-6$ czyli $r=3$.

Zatem szukana nierówność z wartością bezwzględną to: $\left|x+2\right|>3$.

Rozważając interpretację geometryczną nierówności, której rozwiązaniem jest zbiór $\left(-\infty , -5 \right)\cup \left(1, \infty \right)$ możemy ją zinterpretować jako zbiór punktów na osi liczbowej, których odległość od środka odcinka o początku w punkcie $-5$ i końcu w punkcie $1$ jest większa od połowy długości tego odcinka. Środek odcinka znajduje się w punkcie o współrzędnej $-2$, natomiast połowa długości tego odcinka jest równa $3$.

R1P1qMvaMOEOb

Ilustracja przedstawia oś liczbową x z oznaczonymi wartościami od minus 9 do pięciu. Na osi zaznaczone zostały dwa przedziały: pierwszy od minus nieskończoności do minus pięciu, który jest prawostronnie otwarty i drugi od jeden to plus nieskończoności, który jest lewostronnie otwarty. Na osi zamalowaną kropką zaznaczony został punkt minus dwa. Odległość od punktu minus 2 do minus 5 jest równa 3, odległość od minus 2 do 1 jest również równa trzy.

Zatem nierówność to $\left|x+2\right|>3$.

Dany jest zbiór $X=\left\{x\in \mathrm{ℝ}: \left|x-a\right|\le b\right\}$. Wyznaczymy takie liczby $a$ i $b$, dla których:

1. $X=\varnothing$,

2. $X=\left\{2\right\}$.

Rozwiązanie

1. Ponieważ wartość bezwzględna nigdy nie jest liczbą mniejszą od $0$, nierówność $\left|x-a\right|\le b$ nie będzie miała rozwiązań dla $b<0$. Liczba $a$ może być dowolna, czyli $a\in ℝ$ i $b<0$.

2. Aby rozwiązaniem była liczba $2$, nierówność ma postać $\left|x-2\right|\le 0$.
   Zatem $a=2$ i $b=0$.

zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność