Przeczytaj

Chcielibyśmy, aby stosowane do tej pory własności działań na potęgach były uniwersalne dla wszystkich wykładników – nie tylko naturalnych czy całkowitych.

Ważne!

Wśród znanych nam już własności znajduje się taka, która orzeka, że iloczyn potęg o tych samych podstawach jest równy potędze, której podstawą jest podstawa czynników, zaś wykładnik jest równy sumie wykładników czynników (czyli dla $a > 0$ zachodzi $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ).

Rozważmy liczbę $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

Zgodnie ze wspomnianą powyżej własnością zachodzi $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3$

Ale prawdą jest też, $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ .

Ponieważ chcielibyśmy, aby równanie $x^{2} = 3$ miało jedno rozwiązanie dodatnie, a obie liczby $\sqrt{3}$ i $3^{\frac{1}{2}}$ są dodatnie i to równanie spełniają, więc przyjmujemy $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ .

Analogicznie chcielibyśmy, aby równanie $x^{3} = 2$ miało jedno rozwiązanie.

Okazuje się, że spełniają je liczby $\sqrt[3]{2}$ (bo ${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2$ oraz $2^{\frac{1}{3}}$ (bo ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{1} = 2$ ).

Przyjmujemy więc, że $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ .

Oba przykłady są szczególnymi przypadkami potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej, którą definiujemy jak następuje:

Jeśli

a \geq 0

oraz

n \in ℕ ∖ \{0, 1\}

, to

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Przykład 1

Obliczymy wartości potęg:

$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

${(\frac{16}{81})}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}$

Ponieważ chcemy, żeby wszystkie poznane dotąd własności działań na potęgach były prawdziwe, więc aby obliczyć wartości potęg o wykładnikach będących liczbami wymiernymi, ale bardziej skomplikowanymi niż odwrotności liczb naturalnych, możemy postąpić jak poniżej.

Przykład 2

Obliczymy wartość potęgi $8^{\frac{2}{3}}$ .

Korzystając z własności potęgowania, która orzeka, że dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczb całkowitych $k$ i $m$ zachodzi

{(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}

przekształcamy:

$8^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{1}{3} \cdot 2} = {(8^{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4$

Ważne!

Potęgę o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku $\frac{k}{m}$ , gdzie $k$ i $m$ są liczbami naturalnymi, przy czym $m > 1$ definiujemy wzorem:

a^{\frac{k}{m}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

Przykład 3

Obliczymy wartości potęg o wykładniku wymiernym dodatnimpotęg o wykładniku wymiernym dodatnim:

$81^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{81})}^{3} = 3^{3} = 27$

$32^{\frac{2}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{2} = 2^{2} = 4$

$32^{\frac{3}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{3} = 2^{3} = 8$

$32^{\frac{4}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{4} = 2^{4} = 16$

${(\frac{9}{25})}^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt{\frac{9}{25}})}^{3} = {(\frac{3}{5})}^{3} = \frac{27}{125}$

${(\frac{9}{25})}^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{\frac{9}{25}})}^{2} = \sqrt[3]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{625}} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{5 \sqrt[3]{5}}$ możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika rozszerzając ułamek przez $\sqrt[3]{25}$ : $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{5 \sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}} = \frac{3 \sqrt[3]{75}}{5 \cdot 5} = \frac{3 \sqrt[3]{75}}{25}$

Ponieważ każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego na nieskończenie wiele sposobów, rodzi się wątpliwość, czy każda z tych postaci da taką samą wartość potęgi.
Na przykład prawdą jest, że $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = . . .$
Ale czy $2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{4}{12}} = . . .$ ?
Dowodzi się, że tak rzeczywiście jest. O ile pamiętamy, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym może być tylko liczba nieujemna, można wybrać dowolną spośród wszystkich postaci wykładnika reprezentujących tę samą liczbę wymierną, ale trzymamy się zasady, że wybieramy najprostszą z nich, tzn. ułamek nieskracalny.
W przykładzie powyżej wybierzemy $2^{\frac{1}{3}}$ .

Ciekawostka

Zbadajmy jeszcze, do czego prowadziłaby możliwość obliczania potęg o wykładniku wymiernym i podstawie będącej liczbą ujemną.

Rozważmy ciąg następujących równości:

$- 1 = {(- 1)}^{1} = {(- 1)}^{2 \cdot \frac{1}{2}} = {[{(- 1)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$

Gdybyśmy w definicji potęgi o wykładniku wymiernym dopuścili, aby podstawa potęgi była liczbą ujemną, musielibyśmy zrezygnować z własności potęgowania... albo pogodzić się z faktem, że $- 1 = 1$ i wszystkimi konsekwencjami tej równości.

Dużo bardziej sensowne i praktyczne wydaje się przyjęcie ograniczenia, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym może być tylko liczba nieujemna.

Jeżeli dopuścimy, aby wykładnik potęgi mógł być liczbą ujemną, potrzebne jest mocniejsze założenie: w takim przypadku podstawa potęgi musi być liczbą dodatnią.

Ważne!

Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$ definiujemy potęgę o wykładniku wymiernym ujemnym następującym wzorem:

a^{- \frac{k}{m}} = \frac{1}{{(\sqrt[m]{a})}^{k}} = {(\sqrt[m]{\frac{1}{a}})}^{k}

Przykład 4

Obliczymy wartości potęg o wykładniku wymiernym ujemnympotęg o wykładniku wymiernym ujemnym:

${0,125}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{125}{1000})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4$

${(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} = {(\frac{81}{16})}^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{\frac{81}{16}})}^{3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8} = 3,375$

Już wiesz

Dla porządku przypomnimy własności potęgowania, które przenoszą się z potęg o wykładnikach całkowitych na potęgi o wykładnikach wymiernych.

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami dodatnimi, zaś $p$ i $q$ są liczbami wymiernymi, to:

a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}

a^{p} : a^{q} = a^{p - q}

{(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}

a^{p} \cdot b^{p} = {(a \cdot b)}^{p}

a^{p} : b^{p} = {(a : b)}^{p}

Stosowanie wymienionych powyżej własności będziemy doskonalić w następnej lekcji.

Słownik

potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

potęgą o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{\frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{a})}^{p}$

potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

potęgą o dodatniej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $- \frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{- \frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{\frac{1}{a}})}^{p} = \frac{1}{{(\sqrt[q]{a})}^{p}}$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik