Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

GraniastosłupgraniastosłupGraniastosłup jest bryłą, która ma dwie przystające, równoległe znajdujące się w różnych płaszczyznach podstawy, które są wielokątami.

Ściany boczne graniastosłupa są równoległobokami.

Przykład 1

Ocenimy, czy któraś z brył przedstawiona na rysunku jest graniastosłupem.

1.

RrH0W5sPeGH2E

2.

RJM7eoJPDQsLe

Pierwsza z brył nie jest graniastosłupem, ponieważ tylko dwie z sześciu jej ścian są równoległobokami. W graniastosłupie tylko dwie ze ścian mogą nie być równoległobokami i są to jego podstawy.

Druga z brył jest graniastosłupem. Ma dwie przystające podstawy w kształcie pięciokąta. Jej ściany boczne są prostokątami, a oczywiście każdy prostokąt jest równoległobokiem.

Podział i nazewnictwo graniastosłupów

Graniastosłupy dzielą się na prostepochyłe.

Graniastosłup nazywamy graniastosłupem prostym, gdy jego wszystkie ściany boczne są prostokątami.

W graniastosłupie prostym każda z podstaw jest rzutem prostokątnym drugiej podstawy na płaszczyznę równoległą.

Graniastosłup nazywamy pochyłym, jeżeli ma ściany boczne, które nie są prostokątami.

W graniastosłupie pochyłym każda z podstaw jest rzutem ukośnym drugiej podstawy na płaszczyznę równoległą.

Przykład 2

Bryły na rysunku są graniastosłupami. Ocenimy, które z nich są proste, a które pochyłe.

1.

RxBatQV4RWGkD

Jest to graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty.

2.

RhqSSj9rep8Hm

Jest to graniastosłup pochyłygraniastosłup pochyłygraniastosłup pochyły.

3.

RQBekP7MTauCb

Jest to graniastosłup prosty.

RycY5t2p1JwcR
Ilustracja interaktywna. Nagłówek: Każdy graniastosłup ma dwie równoległe podstawy. Pod nagłówkiem po lewej stronie znajduje się rysunek graniastosłupa o pięciu prostokątnych ścianach bocznych oraz o dwóch identycznych pięciokątnych podstawach. Po prawej stronie umieszczono interaktywny komentarz w formie rozwijanej tabelki zatytułowanej "Graniastosłupy nazywamy zależnie od figury w podstawie" i podano trzy przykłady. 1. Graniastosłup dziewięciokątny.
Figura w podstawie to dziewięciokąt. , 2. Graniastosłup czworokątny.
Figura w podstawie to czworokąt., 3. Graniastosłup sześciokątny.
Figura w podstawie to sześciokąt., W tabeli poniżej przedstawiono dwa różne przypadki i opisano je ze względu na ściany boczne oraz ze względu na krawędzie i wysokości. Opisano tu graniastosłupy pochyłe oraz proste. 4. Graniastosłup pochyły jest bryłą, w której krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw., 5. Graniastosłup pochyły charakteryzuje się tym, że jego krawędzie boczne nie są wysokościami. Poprawnie zaznaczona wysokość w graniastosłupie pochyłym łączy obie podstawy i jest prostopadła jednocześnie do podstawy górnej, jak i dolnej oraz znajduje się wewnątrz bryły., 6. Graniastosłup prosty to bryła, której ściany boczne są prostokątami., 7. Graniastosłup prosty charakteryzuje się tym, że jego krawędź boczna jest wysokością, chociaż wysokość można narysować czy wyznaczyć nie tylko na krawędzi, ale i w środku bryły, wybierając dowolny odcinek łączący obie podstawy, będący jednocześnie prostopadłym do górnej i dolnej podstawy.

Nazywając graniastosłupy bierzemy pod uwagę wielokąt, który znajduje się w podstawie.

Jeżeli w podstawie graniastosłupa jest czworokąt, to graniastosłup nazywamy czworokątnym – bez względu na to, czy w podstawie jest kwadrat, trapez, romb, czy inny czworokąt.
Analogicznie, gdy w podstawie jest trójkąt, to graniastosłup nazywamy trójkątnym itd.

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt i jest prosty nazywamy graniastosłupem prostym trójkątnym.

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt i jest pochyły nazywamy graniastosłupem pochyłym trójkątnym.

Przykład 3

Nazwiemy graniastosłupy na rysunkach.

1.

RjWX7CVNTNgxn

Graniastosłup prosty trójkątny.

2.

RRNVRHIoghRC8

Graniastosłup prosty czworokątny.

3.

R9j6GPpHrtot9

Graniastosłup pochyły czworokątny.

Ważne!

Szczególnym przypadkiem graniastosłupa prostego czworokątnego jest prostopadłościanprostopadłościanprostopadłościan, którego wszystkie ściany są prostokątami. Szczególnym przypadkiem prostopadłościanu jest sześciansześciansześcian, którego wszystkie ściany są kwadratami.

Graniastosłupy proste, które w podstawie mają wielokąt foremny nazywamy graniastosłupami prawidłowymi.

Przykład 4

1.

RKxHcrde6gw7a

Graniastosłup prawidłowy trójkątny.

2.

R1dUy2TFcG9be

Graniastosłup prawidłowy czworokątny.

3.

R1KzK3NAbH1Ee

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Ważne!
  1. Każdy graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy czworokątny jest prostopadłościanem.

  2. Każdy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym.

Elementy graniastosłupa

Każdy graniastosłup ma dwie równoległe podstawy, które są wielokątami. Pozostałe ściany graniastosłupa nazywamy ścianami bocznymi. Boki wielokątów, które są ścianami graniastosłupa nazywamy krawędziamikrawędźkrawędziami – boki wielokątów w podstawach to krawędzie podstawy, pozostałe krawędzie nazywamy krawędziami bocznymi. WierzchołkiwierzchołekWierzchołki wielokątów, które są ścianami graniastosłupa nazywamy wierzchołkami graniastosłupa.

RxV4hm05xgoPg
R1JidVelIeFUU
Pokaz slajdów zatytułowany jest "Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego" i zawiera dziewięć ilustracji opisujących kolejne elementy konstrukcyjne graniastosłupa. Rysunki przedstawiają przykładowy graniastosłup, tutaj jest to prostopadłościan
Rysunek pierwszy przedstawia prostopadłościan zamalowany na niebiesko.
Rysunek drugi przedstawia niezamalowany prostopadłościan, w którym zamalowanymi pogrubionymi punktami wyróżniono osiem (w tym przypadku) wierzchołków, które podpisano. Są to wierzchołki obu podstaw bryły.
Rysunek trzeci przedstawia prostopadłościan, w którym zamalowano na różowo tylko prostokątne ściany boczne i podpisano je.
Rysunek czwarty przedstawia niezamalowany prostopadłościan, którego krawędzie ścian bocznych wyróżniono kolorem fioletowym i podpisano. Są to (w tym przypadku cztery) pionowe boki prostokątnych ścian.
Rysunek piąty przedstawia niezamalowany prostopadłościan z zamalowanymi na różowo podstawami, które podpisano.
Rysunek szósty przedstawia niezamalowany prostopadłościan z wyróżnionymi kolorem fioletowym krawędziami obu podstaw, które podpisano. Zaznaczono w tym przypadku cztery boki podstawy górnej i cztery boki podstawy dolnej.
Rysunek siódmy przedstawia zamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość ścian w graniastosłupie n-kątnym wynosi: n+2, czyli n ścian bocznych i dwie podstawy".
Rysunek ósmy przedstawia niezamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość krawędzi w graniastosłupie n-kątnym wynosi 3n, czyli n krawędzi bocznych i 2n krawędzi podstaw".
Rysunek dziewiąty przedstawia niezamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość wierzchołków w graniastosłupie n-kątnym wynosi 2n.
Przykład 5

Wymienimy elementy graniastosłupa na rysunku.

RcDMBjQKKMSJO

Podstawy: ABCDE, A'B'C'D'E'

Ściany boczne: ABB'A', BCC'B', CDD'C', DEE'D', EAA'E'

Krawędzie podstawy: AB, BC, CD, DE, EA, A'B', B'C', C'D', D'E', E'A'

Krawędzie boczne: AA', BB', CC', DD', EE'

Wierzchołki: A, B, C, D, E, A', B', C', D', E'

Słownik

graniastosłup
graniastosłup

bryła, która ma dwie równoległe, leżące w różnych płaszczyznach podstawy będące wielokątami i ściany boczne, które są równoległobokami

graniastosłup prosty
graniastosłup prosty

graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy
graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny

graniastosłup pochyły
graniastosłup pochyły

graniastosłup, który ma przynajmniej jedną ścianę, która jest równoległobokiem niebędącym prostokątem

prostopadłościan
prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

sześcian
sześcian

prostopadłościan, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami

krawędź
krawędź

bok wielokąta, który jest ścianą bryły

wierzchołek
wierzchołek

wierzchołek wielokąta, który jest ścianą bryły