Wiedząc, że ${\log }_{12}2=k$, obliczymy ${\log }_{6}16$. Zauważmy, że logarytmy zapisane w treści zadania mają różne podstawy. Możemy więc spróbować oba logarytmy sprowadzić do tej samej podstawy, przekształcać oba logarytmy lub jeden z nich.

Wybraliśmy jeden z klasycznych sposobów, przekształcania obu logarytmów, może nie najefektywniejszy, ale często wykorzystywany.

Krok 1
Zapisujemy ${\log }_{6}16$ w takiej postaci, aby liczba logarytmowana była jak najmniejsza:

${\log }_{6}16$$={\log }_6{2}^4=4{\log }_{6}2$.

Krok 2
Teraz zapiszemy ${\log }_{12}2$ za pomocą ${\log }_{6}2$:

${\log }_{12}2=\frac{{\log }_{6}2}{{\log }_{6}12}=\frac{{\log }_{6}2}{{\log }_{6}6+{\log }_{6}2}=\frac{{\log }_{6}2}{1+{\log }_{6}2}$.

Ponieważ ${\log }_{12}2=k$, zatem

$\frac{{\log }_{6}2}{1+{\log }_{6}2}=k$.

Krok 3
Z otrzymanej równości wyznaczamy ${\log }_{6}2$:

${\log }_{6}2=k\left(1+{\log }_{6}2\right)$

${\log }_{6}2(1-k)=k$.

Krok 4
Zapisujemy ${\log }_{6}16$ za pomocą liczby $k$:

${\log }_{6}16=4{\log }_{6}2=\frac{4k}{1-k}$.

Odpowiedź:
${\log }_{6}16=\frac{4k}{1-k}$.

Liczby $\log 2$, $\log 2^x$, $\log 4$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczbę $x$. Wiemy, że w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Stąd:
$\log 2^x=\frac{\log 2+\log 4}{2}$.

Ze wzoru na logarytm iloczynu oraz ze wzoru na logarytm potęgi otrzymujemy:
$2\log 2^x=\log 8$
$\log 2^{2x}=\log 8$.

Czyli:
$2^{2x}=2^3$
$x=\frac{3}{2}$

Odpowiedź:
Szukana liczba jest równa $x=\frac{3}{2}$.

Wykażemy, że istnieją dokładnie dwie liczby spełniające warunek $x^{1-\log x}={10}^{-2}$.

Z równości zapisanej w zadaniu wynika, że poszukujemy dwóch liczb dodatnich $(x>0)$ .

Logarytmujemy obie strony rozważanej równości przy podstawie $10$:
$\log \left(x^{1-\log x}\right)=\log {10}^{-2}$.

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
$(1-\log x)\log x=-2\log 10$

Wykonujemy wskazane działania, porządkujemy wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe:
$\log x-{\log }^{2}x=-2$
${\log }^{2}x-\log x-2=0$.

Podstawiamy $t=\log x$.

Stąd:
$t^2-t-2=0$.

Wyznaczamy $\Delta$:
$\Delta =1+8=9>0$.

Równanie ma dwa pierwiastki, które wyznaczamy:
$t_1=-1$ i $t_2=2$.

Zatem:
$\log x_1=-1$, czyli $x_1=\frac{1}{10}>0$
$\log x_2=2$, czyli $x_2=100>0$.

Obie znalezione liczby są dodatnie, zatem spełniają warunki zadania.
Wykazaliśmy więc, że istnieją dwie liczby spełniające warunek $x^{1-\log x}={10}^{-2}$, co kończy dowód.

Wykażemy, że iloczyn pierwiastków równania ${\log }_{2}x·{\log }_{4}x=3{\log }_{8}x+4$ jest liczbą naturalną.

Z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem musi być spełniony warunek $x>0$.
Logarytmy zapisane w równaniu mają różne podstawy. Zatem dla ułatwienia obliczeń, zapiszemy każdy z logarytmów za pomocą logarytmu o podstawie $2$ – skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmuwzór na zmianę podstawy logarytmuwzoru na zmianę podstawy logarytmu:
${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$
${\log }_{8}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}8}=\frac{1}{3}{\log }_{2}x$.

Rozważane równanie ma teraz postać:
$\frac{1}{2}{\left({\log }_{2}x\right)}^2={\log }_{2}x+4$.

Zapisujemy równanie tak, aby po prawej stronie znaku równości znalazła się liczba $0$:
$\frac{1}{2}{\left({\log }_{2}x\right)}^2-{\log }_{2}x-4=0$

Otrzymujemy równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać, oznaczamy: ${\log }_{2}x=t$.

$\frac{1}{2}{t}^2-t-4=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
$\Delta =1+4·\frac{1}{2}·4=9>0$
$t_1=-2$, $t_2=4$.

Stąd
${\log }_2{x}_1=-2$, czyli $x_1=\frac{1}{4}>0$
${\log }_2{x}_2=4$, czyli $x_2=16>0$

Obie znalezione liczby są dodatnie, zatem spełniają warunki zadania. Znajdujemy iloczyn pierwiastków równania: $\frac{1}{4}·16=4\in \mathrm{\mathbb{N}}$, co należało wykazać.

Wykażemy, że jeśli $a>0$, $b>0$, $x>0$, $a\ne 1$, $b\ne 1$, $ab\ne 1$ to $\frac{{\log }_{a}x-{\log }_{b}x}{{\log }_{a}x+{\log }_{b}x}={\log }_{ab}\left(\frac{b}{a}\right)$.

Przekształcamy lewą stronę rozważanego wyrażenia, zapisując każdy z logarytmów za pomocą logarytmu dziesiętnego: $L=\frac{{\log }_{a}x-{\log }_{b}x}{{\log }_{a}x+{\log }_{b}x}=\frac{\frac{\log x}{\log a}-\frac{\log x}{\log b}}{\frac{\log x}{\log a}+\frac{\log x}{\log b}}$.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:
$L=\frac{\frac{\log x·\log b-\log x·\log a}{\log a·\log b}}{\frac{\log x·\log b+\log x·\log a}{\log a·\log b}}$.

Dzielimy i skracamy:
$L=\frac{\log x·\log b-\log x·\log a}{\log x·\log b+\log x·\log a}$.

W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i skracamy:
$L=\frac{\log x(\log b-\log a)}{\log x(\log b+\log a)}=\frac{\log b-\log a}{\log b+\log a}$.

Zapisujemy licznik i mianownik ułamka w postaci logarytmu jednomianu (ze wzoru odpowiednio na logarytm ilorazu i logarytm iloczynu):
$L=\frac{\log \left(\frac{b}{a}\right)}{\log \left(ab\right)}$.

Każdy z logarytmów zapisujemy za pomocą logarytmu o podstawie $ab$, dzielimy i skracamy:
$L=\frac{\frac{{\log }_{ab}\left(\frac{b}{a}\right)}{{\log }_{ab}10}}{\frac{{\log }_{ab}ab}{{\log }_{ab}10}}=\frac{{\log }_{ab}\left(\frac{b}{a}\right)}{{\log }_{ab}10}·\frac{{\log }_{ab}10}{{\log }_{ab}ab}=\frac{{\log }_{ab}\left(\frac{b}{a}\right)}{1}·\frac{1}{1}$
$L={\log }_{ab}\left(\frac{b}{a}\right)=P$.

Lewa strona równości równa się prawej stronie, co należało wykazać.

Uwaga
Rozwiąż zadanie przedstawione w Przykładzie $5$, sprowadzając od razu lewą stronę równości do logarytmów o podstawie $ab$. Porównaj oba rozwiązania.

jeżeli $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $b\ne 1$ i $c>0$, to ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$