Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przypomnijmy definicje i twierdzenia, z których będziemy korzystać podczas rozwiazywania układów równań postaci y=ax2+bxy=cx+d.

Układ równań
Definicja: Układ równań

Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Aby rozwiązać układ równań należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające jednocześnie  wszystkie równania składowe danego układu równań.

Rozwiązanie układu równań
Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układu równań  liniowych z dwiema niewiadomymi  nazywamy parę liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
Definicja: Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Równaniem kwadratowym z jedną niewiadomą x, nazywamy równanie postaci

ax2+bx+c=0,

gdzie:
a, bc są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a0.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego („delta”)
Definicja: Wyróżnik trójmianu kwadratowego („delta”)

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ax2+bx+c nazywamy wyrażenie postaci

=b2-4ac.

W zależności od wartości wyróżnika  trójmianu kwadratowego, równanie kwadratowe może mieć dwa lub jeden pierwiastek. Może też nie posiadać rozwiązania.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe postaci ax2+bx+c=0, a0:

  • nie posiada rozwiązania, jeśli <0;

  • posiada jedno rozwiązanie x0=-b2a, jeśli =0;

  • posiada dwa rozwiązania x1=-b-2a oraz x2=-b+2a, jeśli >0.

Rozwiążemy teraz kilka układów równań postaci y=ax2+bxy=cx+d.

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań y=x2+3xy=5x+3.

Podstawiamy wyrażenie wyznaczone w równaniu liniowym, do równania kwadratowego w miejsce niewiadomej y.

5x+3=x2+3xy=5x+3

Porządkujemy otrzymane równanie kwadratowerównanie kwadratowe z jedną niewiadomąrównanie kwadratowe.

x2-2x-3=0

Następnie rozwiązujemy je - korzystamy ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego równania ax2+bx+c=0 oraz wzorów na pierwiastki tego równania.

=b2-4ac

=22-4·1·-3

=16>0

=4

x1=-b-2a lub x2=-b+2a

x1=2-42=-1 lub x2=2+42=3

Podstawiamy otrzymane wartości niewiadomej x do równania liniowego i obliczmy niewiadomą y.

x=-1y=5x+3 lub x=3y=5x+3

x=-1y=-2 lub x=3y=18

A zatem rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb x=-1y=-2 oraz x=3y=18.

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań 10x+3y=22x2+y2x-y=9.

Doprowadzamy równania występujące w układzie do najprostszej postaci i wyznaczamy w równaniach niewiadomą y.

10x+3y=4x2+2y-y=9-2x

y=4x2-10xy=2x-9

Wyznaczoną w równaniu liniowym wartość y, podstawiamy do równania kwadratowego.

2x-9=4x2-10xy=2x-9

W pierwszym równaniu otrzymaliśmy równanie kwadratowe – porządkujemy je.

4x2-10x-2x+9=0

4x2-12x+9=0

Uzyskane po lewej stronie równania wyrażenie możemy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, zapisać w postaci

2x-32=0

A zatem

2x-3=0

x=32

Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej x do równania liniowego i obliczmy niewiadomą y.

x=32y=2x-9

x=32y=-6

Rozwiązaniem tego układu równań jest jedna para liczb x=32y=-6.

Przykład 3

Rozwiążemy układ równańukład równańukład równań -21-2x2+23x=y-2y=3x-2.

Doprowadzamy pierwsze równanie występujące w układzie do najprostszej postaci.

-2+2x2+23x=y-2y=3x-2

2x2+23x=yy=3x-2

Wyznaczoną w równaniu liniowym wartość y, podstawiamy do równania kwadratowego, które następnie porządkujemy.

2x2+23x=3x-2y=3x-2 

2x2+3x+2=0y=3x-2

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego otrzymanego równania kwadratowego.

=32-4·2·2=3-82<0

<0, a więc równanie kwadratowe 2x2+3x+2=0 nie posiada rozwiązania.

Zatem układ równań -21-2x2+23x=y-2y=3x-2 jest sprzeczny.

Widzimy zatem, że liczba rozwiązań układu równań y=ax2+bxy=cx+d jest taka sama, jak liczba rozwiązań równania kwadratowego ax2+bx=cx+d.

Przykład 4

Określimy, dla jakiego parametru m, układ równań y=x2+72y=5-mx nie posiada rozwiązań.

W równaniu liniowym wyznaczamy zmienną y, a następnie podstawiamymetoda podstawianiapodstawiamy ją do drugiego równania.

y=x2+72y=5-mx

y=x2+7y=52-m2x

52-m2x=x2+7y=52-m2x

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem m.

52-m2x=x2+7

Porządkujemy je i obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

x2+m2x-52+7=0

x2+m2x+92=0

=m22-4·1·92

=m24-18

Równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy <0.

Szukamy więc takich wartości parametru m, dla których ten warunek jest spełniony.

Rozwiążemy nierówność kwadratową.

<0m24-18<0

m2-72<0

m-62m+62<0

R1RE2CEO3K50k
m-62, 62

A zatem dla m-62, 62 układ równań y=x2+72y=5-mx nie posiada rozwiązań.

Przykład 5

Określimy liczbę rozwiązań układu równań y=-20x2+4t+1xy=x+5 z niewiadomą x, w zależności od wartości parametru t.

Z równania liniowego wyznaczamy zmienną y i podstawiamy otrzymane wyrażenie do pierwszego równania.

x+5=-20x2+4t+1xy=x+5

Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem t. Porządkujemy je i obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

x+5=-20x2+4t+1x

-20x2+4tx+1x-x-5=0

-20x2+4tx-5=0

=16t2-4·-20·-5

=16t2-400

Liczba rozwiązań układu równań y=-20x2+4t+1xy=x+5 jest taka sama, jak liczba pierwiastków równania

-20x2+4tx-5=0.

Zgodnie z przypomnianym na początku materiału twierdzeniem, liczba pierwiastków równania kwadratowego jest zależna od wartości wyróżnika kwadratowego (delty).

=16t2-400=0

Wyznaczamy pierwiastki tego równania (sprawdź).

t1=-5

t2=5

RavCVNU4sMX85

Mamy więc:

  • jeden pierwiastek =0t-5, 5;

  • dwa pierwiastki >0t-, -55, ;

  • brak pierwiastków <0t-5, 5.

A zatem:

  • dla t-, -55,  rozwiązaniem układu równań y=-20x2+4t+1xy=x+5 są dwie pary liczb;

  • dla t-5, 5 rozwiązaniem układu równań y=-20x2+4t+1xy=x+5 jest jedna para liczb;

  • dla t-5, 5 układ równań y=-20x2+4t+1xy=x+5 nie posiada rozwiązań.

Słownik

układ równań
układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

równanie z niewiadomą x postaci

ax2+bx+c=0,

gdzie:
a, bc są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a0

metoda podstawiania
metoda podstawiania

metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej